Свойства разностных схем Эйлера для ОДУ

Рассмотрим  основные свойства разностных схем: точность, согласованность, аппроксимацию и устойчивость.

Самое главное свойство - точность. Совершенно естественно, приступая к численному решению дифференциального уравнения, Вы хотите, чтобы полученное Вами решение было как можно ближе к точному решению. Сравним решения нашей линейной задачи с предыдущей страницы, которые предоставляют две из трех приведенных там Эйлеровых схем, с аналитическим решением y(t)=exp(-At). На рисунке сбоку изображена ошибка между  аналитическим точным решением и вычисленным с использованием двух шагов. Видно, что неявная схема дает намного меньшие ошибки, чем несимметричная явная. Ошибка падает с уменьшением шага h. В принципе можно оценить (например, с помощью вычислительных тестов) степень уменьшения ошибки в зависимости от величины шага. Окажется, что схема 1 дает решение, которое стремится к точному приh->0 как o(h), а схема 3 - как o(h²). Говорят, что схема обладает N-м порядком ТОЧНОСТИ, если полученное с ее помощью решение стремится к точному решению задачи Коши для ОДУ как o(h^N ) при h->0. Схема тем лучше, чем выше порядок точности.

Все сказанное, увы, можно применить к реальности только в модельных случаях, когда и без того известно аналитическое решение задачи Коши. В реальном случае никто точного решения не знает, поэтому порядок точности оценить сложно.

Однако, можно определить порядок аппроксимации уравнения разностной схемой. Естественное требование к схемам - это  СОГЛАСОВАННОСТЬ, т.е. переход в пределеh->0 разностной схемы в то самое дифференциальное уравнение, которое решается. Чем меньше шаг h , тем меньше невязка между ОДУ и аппроксимирующим его разностным уравнением. Так вот, N-й порядок АППРОКСИМАЦИИ означает, что невязка стремится к нулю  как o(h^N ) при h->0. Как аналитически оценивают порядок аппроксимации, сказано в любой книге из приведенных в списке литературы по ОДУ. Если провести несложные выкладки (связанные с разложением в ряд функции y(t) в точке t_i ), то легко получить, что  схема 1 имеет первый порядок  аппроксимации, а схема 3 - второй. В связи с этим и точность этих схем имеет тот же порядок (см. верхний рисунок и обсуждения выше).

Но не всегда порядок точности совпадает с порядком аппроксимации. Сначала вспомним о начальных условиях и для этого рассмотрим другой пример. А именно решение другого ОДУ с правой частью  и н.у. y₀. Точное решение задается функцией y(t)=(t+(y₀)^1/2 )². Если его искать по схеме 2 (с поправкой, конечно, на другую правую часть, т.к. у нас уже другая задача), которая имеет второй порядок  аппроксимации, то потребуется на первом шаге как-то задать y₁. Результат расчетов при (самом простом)  выборе y₁ =  y₀ показан синей кривой на рисунке сбоку. Увы! точность схемы 2 не лучше точности схемы 1, которая обеспечивает только 1-й порядок аппроксимации. Так что не все зависит от порядка аппроксимации схемы, важна еще и соответствующая аппроксимация начальных условий. На том же рисунке показан расчет по схеме 2, в которой первый шаг делается по формуле схемы1. Можно еще его улучшить, составив для первого шага аппроксимацию 2-го порядка. Все сказанное относится и к аппроксимации дифференциальных уравнений и начальных условий для уравнений в частных производных.
 

Вернемся к решению линейной задачи, сравнив 1-ю и 2-ю схемы. Казалось бы, 2-я схема должна дать лучшее решение, т.к. обладает лучшим порядком аппроксимации. Но из рисунка сбоку видно, что решение по схеме 2 не имеет ничего общего с аналитическим решением. Это происходит потому, что она не обладает важнейшим свойством - УСТОЙЧИВОСТЬЮ. Устойчивость означает, что погрешности неточности задания н.у. и вычислительные ошибки, вносимые на каждом шаге (например, округления) не нарастают чрезмерно (т.е. не забивают в конечном счете решения).  Схема 2 (для рассматриваемой линейной задачи) абсолютно неустойчива, схема 1 устойчива при h<A/2, а неявная схема 3 устойчива при любом шаге h. В данном случае условия устойчивости можно определить аналитически, но большинство нелинейных задач исследовать на устойчивость очень сложно. Поэтому часто для выбора схемы применяют различные тесты, особенно пристально выискивая подозрительные решения в виде "разболтки". Как правило, неявные схемы чаще бывают  устойчивыми, поэтому для множества приложений используют именно их, а не простые явные схемы.