ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. Страницы памяти

Андрей Николаевич Тихонов. Серия Замечательные ученые физического факультета МГУ.
Выпуск VIII. Москва, Физический факультет МГУ, 2004.

В начале 60-х годов Андрей Николаевич вернулся к обратным задачам, которыми он занимался в 30-е и 40-е годы. По воспоминаниям А.Х.Пергамент, "работу по регуляризации некорректных задач он представил на научном семинаре института. На семинаре присутствовали М.В.Келдыш, И.М.Гельфанд, С.К.Годунов, К.И.Бабенко, А.А.Самарский и многие другие. Не помню, работал ли тогда в Институте Я.Б.Зельдович. Это было первое публичное изложение идеи регуляризации, и было очень много вопросов."

В середине 60-х годов Андрей Николаевич получил свои основные результаты по устойчивым методам решения некорректных задач и методу регуляризации. По Адамару некорректные задачи не могут использоваться как математические модели физических задач. Это утверждение вошло во многие послевоенные учебники, например, в учебник И.Г.Петровского и в учебник Р.Куранта по уравнениям в частных производных или в учебник С.Л.Соболева по уравнениям математической физики.

Заслуга Андрея Николаевича в том, что он по-новому посмотрел на эти задачи. Начал с того, что по-иному определил само понятие решения некорректной задачи. Всегда пытались точно решать задачу с неточно заданной правой частью. Андрей Николаевич считал необходимым учитывать неточность задания данных. Если исходные данные известны приближенно, то оператор, описывающий процесс или явление, может быть заменен приближенно таким образом, чтобы преобразованная задача стала корректной. При этом отличие нового оператора от исходного должно быть согласовано с погрешностью входных данных. Он определил решение как результат минимизации некоторого функционала специального вида, в котором дополнительной частью является слагаемое, отражающее физические требования к решению. Им были доказаны соответствующие теоремы сходимости и получен устойчивый метод решения некорректных задач, названный методом регуляризации.

А.Н.Тихонов выделил широкий класс некорректно поставленных задач, названных им регуляризируемыми, ввел для этого класса задач понятие регуляризирующего алгоритма и указал эффективные методы построения такого алгоритма, легко реализуемые на ЭВМ. Под руководством Андрея Николаевича разработанный им метод, получивший название «метода регуляризации Тихонова», был применен как для решения большого числа фундаментальных общематематических, так и актуальных прикладных задач.

Первая численная реализация метода регуляризации была осуществлена В.Б.Гласко при решении обратной задачи теплопроводности. Методом регуляризации были решены задача об отыскании решения интегрального и операторного уравнения первого рода, обратные задачи теории потенциала и теплопроводности, задача об аналитическом продолжении функции, большое число фундаментальных задач геофизики, томографии, астрофизики, экономики, оптимального управления и т.д.

Основа вычислительной математики - численные методы решения задач линейной алгебры. Андрей Николаевич доказал, что не существует устойчивого решения плохо обусловленной линейной алгебраической системы, если использовать информацию, даваемую только индивидуальной матрицей этой системы. Для получения устойчивого решения следует рассмотреть всю совокупность матриц, отличающихся от индивидуальной матрицы системы не более, чем на величину погрешности их определения. Из этого множества можно выделить параметрическое подмножество регуляризованных матриц, для которых система имеет устойчивое решение.

Работы А.Н.Тихонова в области некорректно поставленных задач вызвали необычайный интерес в мире. Его первая публикация на эту тему (ДАН СССР, т. 151, № 3, 1963) была признана самой цитируемой в мире, о чем Андрей Николаевич был официально извещен.

В 1963 году А.Н.Тихонову была присуждена Ломоносовская премия I-ой степени за работу "О решении некорректно поставленных задач". В 1966 году цикл работ по некорректным задачам был отмечен Ленинской премией. В том же году Андрей Николаевич был избран действительным членом АН СССР. В дальнейшем метод регуляризации был использован Андреем Николаевичем для решения вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода, устойчивого суммирования рядов Фурье и др.

В 1974 году вышла книга А.Н.Тихонова, В.Я.Арсенина «Методы решения некорректных задач».

Андрей Николаевич проявлял интерес к задачам астрофизики и радиоастрономии. Астрофизика, в основном, является наблюдательной наукой. О процессах, происходящих на удаленных звездах и в галактиках можно судить лишь по результатам наблюдений на земной поверхности или вблизи Земли с помощью аппаратуры, установленной на спутниках или космических кораблях. Поэтому подавляющее большинство задач обработки данных астрофизических экспериментов относятся к обратным задачам, многие из которых являются некорректно поставленными.

В 1965 г. к Андрею Николаевичу обратился Д.Я.Мартынов, директор Государственного астрономического института им. Штернберга при МГУ, с просьбой помочь в создании устойчивых численных методов обработки данных наблюдений двойных затменных систем. Это системы, состоящие из двух звезд, вращающихся вокруг общего центра масс и меняющих свой суммарный блеск в результате взаимных затмений, всегда привлекали внимание астрономов. Если звезда не входит в затменную систему, то можно определить только ее спектральный класс. Невозможно, вообще говоря, даже «измерить» ее массу. Такая возможность появляется для компонент двойных затменных систем, которых очень много, и в число которых входят «экзотические» объекты – белые карлики, нейтронные звезды, «черные дыры».

Андрей Николаевич предложил заняться этими задачами своим дипломникам (а ныне профессорам) А.В.Гончарскому и А.Г.Яголе. Полученные ими результаты исследований затменных систем в содружестве с тогдашним аспирантом ГАИШа (в настоящее время членом-корреспондентом РАН директором ГАИШа) А.М.Черепащуком были удостоены впоследствии премии Ленинского комсомола и Ломоносовской премии 1-ой степени.

Для построения эффективных регуляризирующих алгоритмов решения некорректных задач существенно использовать вид априорной информации. Суть этой концепции очень проста – перед тем, как решать задачу, нужно подумать, нет ли дополнительной физической информации об искомом решении, которую необходимо включить в постановку математической задачи. Надеяться, что ответ, полученный при применении общих регуляризирующих алгоритмов, будет обладать требуемыми свойствами, вообще говоря, не приходится. Кроме того, если сформулировать и включить в постановку математической задачи априорные ограничения, может оказаться, что задача станет корректной или будет обладать свойствами, которых нет у некорректных задач общего вида. Такой дополнительной физической информацией может являться неотрицательность и монотонность искомой функций.

Этот подход был потом обобщен на случай, когда априори известно, что искомое решение некорректной задачи является выпуклой, или монотонной и выпуклой, или имеющей один максимум, и т.д., функцией. В развитие этих идей Андрей Николаевич совместно с А.В.Гончарским, В.В.Степановым, А.Г.Яголой опубликовал монографии "Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация" (1983) и "Численные методы решения некорректных задач" (1990).

В 1966 г. к Андрею Николаевичу обратился В.В.Виткевич, возглавлявший отдел радиоастрономии ФИАН. Требовалось создать устойчивые алгоритмы обработки радиоастрономических изображений, получаемых на радиотелескопе в г. Пущино. Эта задача сводится к решению двумерного интегрального уравнения типа свертки. Оказалось, что эта задача имеет следующую особенность. Ядро интегрального уравнения не могло быть задано аналитически – его нужно было найти в результате эксперимента! Для этой цели на небе недалеко от исследуемого объекта подыскивалась «/delta-функция» - точечный (с пренебрежимо малыми размерами) источник радиоизлучения большой интенсивности. Получаемая диаграмма направленности радиотелескопа представляла собой отклик (изображение) этого источника, т.е. ядро интегрального уравнения типа свертки. Но при этом ядро интегрального уравнения определялось с погрешностью. Потребовалось создать теорию некорректных задач, содержащих ошибки не только в правой части (неоднородности уравнения), но и в операторе. Оказалось далее, что предложенный Андреем Николаевичем вариационный подход к построению регуляризирующих алгоритмов может быть обобщен на нелинейные некорректные задачи, в том числе и с приближенно заданным оператором. Эти результаты были изложены в вышедшей уже после кончины Андрея Николаевича (1995) монографии А.Н.Тихонова, А.С.Леонова, А.Г.Яголы "Нелинейные некорректные задачи".