ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ КОНВЕРТИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ И КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ЗАДАЧИ И МОДЕЛИ.

© М.П. Галанин

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

THE COMPUTER SIMULATION IN THE PROBLEMS OF ELECTROMAGNETIC AND KINETIC ENERGY TRANSFORMATION. THE PROBLEMS AND THE MODELS.

M.P. Galanin

Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences

1. Введение и постановка задачи.

Задачи преобразования электромагнитной и кинетической энергии возникают при решении многих научно – технических проблем. В данной работе мы коснемся лишь двух из них:

- проблемы достижения уникальных скоростей макротел;

- проблемы преобразования электромагнитного импульса за счет введения промежуточного этапа передачи энергии ускоряемому телу и ее последующего возвращения путем резкого торможения в магнитном поле.

В обоих случаях прежде всего необходимо обеспечить разгон некоторого достаточно массивного тела в электродинамическом ускорителе до значительных скоростей.

1. Электромагнитные ускорители макротел.

Причиной применения электромагнитного разгона является тот факт, что современные широко распространенные ускорители макротел массой 10^-3 – 1 кг (типичными представителями которых являются различные виды метателей, использующих газодинамическое давление продуктов сгорания химических соединений) обладают скоростью снаряда, ограниченной величиной 1 – 1.8 км/с [1, 2]. Электродинамический рельсовый ускоритель (РУ) свободен от этих ограничений. Так, плазменные сгустки удается разгонять до скоростей вплоть до 10⁶ м/с. Ситуация с разгоном твердых тел оказалась намного сложнее. В настоящее время при разгоне тела плазменной токовой перемычкой V_макс Ј 9 км/с, а при разгоне металлического проводящего якоря с контактами, скользящими непосредственно по рельсам – токоподводам, V_макс Ј 2.5 - 3 км/с. Обычно проводимые эксперименты имеют одноразовый характер. Имеются литературные данные и доклады на конференциях о достижении скоростей около 10 км/с, однако эти сведения пока разрозненные и вызывают много вопросов. В связи с этим необходимо проводить дополнительные исследования процессов, протекающих при электродинамическом ускорении. Как выясняется, в значительной степени проблемы ускорения связаны с природой контакта проводящих тел в ускорителе или поведением плазменной перемычки.

Активное исследование электромагнитного ускорения происходит последние 20 лет. Уже выполнено значительное число работ, посвященных этому вопросу. С начала 80 - х годов раз в 2 года происходят конференции, посвященные вопросам технологии электромагнитного метания в США и Европе, с соответствующей публикацией результатов. Предпоследняя по времени (десятая) конференция состоялась в Сан – Франциско, США в 2000 г. (см. [3]), последняя состоялась недавно в 2002 г. в Сент – Луисе, Франция. В Советском Союзе было проведено два семинара, посвященных изучению электромагнитного метания [1, 2].

С точки зрения научной и технической электродинамические ускорители представляют значительный интерес. Укажем некоторые области их применения. 1. Фундаментальной научной проблемой является изучение поведения вещества в критических режимах гиперскоростей, высоких температур и давлений (например, изучение взаимодействия метеоритов с космическим аппаратом и др.), при протекании по ним мегаамперных токов. Для этого необходимы устройства, способные обеспечить возможность наблюдения вещества в указанных условиях. Одним из таких устройств являются электродинамические ускорители проводящих и непроводящих тел [1, 2]. 2. Электродинамические ускорители являются перспективными устройствами для разгона тел до скоростей порядка 10 км/с и выше. В результате они являются хорошими кандидатами на экологически чистое транспортное средство для доставки грузов в космическое пространство [4]. Исследование электромагнитного разгона представляет значительный интерес в связи с созданием высокоскоростного транспорта на электрической тяге. При этом необходимо обеспечить надежную передачу электромагнитной энергии через высокоскоростной контакт. 3. Очевидны военные применения электродинамических ускорителей. В настоящее время работы по изучению и конструированию электромагнитных метателей в США производятся в основном в военных целях. Это создание полностью электрического танка, электромагнитной катапульты для запуска самолетов с авианосцев, электродинамических пушек и т.п. [3]. 4. Можно указать и сугубо технические области применения электродинамических ускорителей: создание устройств для нанесения тонких покрытий и даже электромагнитных насосов с использованием рельсотронов (см. также [3]).

Рассмотрим задачу математического моделирования процесса ускорения проводящих макротел в импульсных электродинамических ускорителях типа рельсотрон [1, 2]. Простейшая электрическая схема и типичное сечение канала такого ускорителя показаны на рис. 1.1 и 1.2. По направляющим рельсотрона (рельсам) протекает электрический ток, замыкающийся через подвижную проводящую перемычку – якорь. Созданное током магнитное поле взаимодействует с током в якоре и порождает силу Лоренца, выталкивающую якорь из магнитного поля. В результате происходит ускорение якоря.

В экспериментах [5] и др. показано, что при скоростях разгона металлического якоря, превышающих 1.5 км/с, тепловыделение в зоне контакта якоря и рельса приводит к разогреву и испарению задней кромки якоря с образованием плазменной перемычки. Этому способствует увеличение плотности тока из - за скоростного скинирования в задней части ускоряемого тела. Металлический контакт между якорем и рельсами разрушается, что сопровождается резким падением КПД преобразования электрической энергии в кинетическую. В упрощенных моделях процесса ускорения [6] получены оценки критической скорости V_крит » 0.9 - 1.2 км/с, при которой происходит нарушение проводимости контакта металлического типа для различных материалов якоря и рельса. Постановка задачи в целом определяется необходимостью исследования ускорителей типа рельсотрон (РУ) с более сложной топологией якоря и канала, чем приведена на рис. 1.1 и 1.2, в которых величина критической скорости могла бы быть увеличена в 2 - 3 раза относительно указанной выше.

Рис. 1.1. Принципиальная схема рельсотрона.

Рис. 1.2. 1-направляющий и токоподводящий рельс, 2-ускоряемое тело (якорь или арматура), 3- силовой бандаж канала.

В последние годы удалось создать ускорители и источники питания, обеспечивающие успешный разгон килограммовых масс до скоростей свыше 2 км/с. Масштаб затрат, вложенных в создание установок, имеющих импульсные накопители с запасом энергии от 10 до 60 МДж и каналы длиной до 9 м, вынуждает провести тщательный анализ процессов токопереноса в контактной зоне канала ускорителя. Проблеме кризиса металлического контакта и поиску возможных путей его преодоления посвящен обзор [7].

Экспериментальные и теоретические исследования, выполненные в различных исследовательских центрах, показали, что в начале разгона, пока скорость меньше нескольких сотен м/с, между якорем и рельсами существует устойчивый контакт. При скоростях движения 500 - 1000 м/с практически на всей длине разгона имеет место нестационарный режим протекания тока через контактную поверхность. Наблюдается возникновение дугового разряда. Диапазон скоростей, при которых это происходит, зависит в некоторых пределах от тока, начальной скорости, материалов электрода и якоря, его конфигурации и т.д. Точка перехода к дуговому разряду идентицифицировалась исследователями как «кризис» металлического контакта. В различных ситуациях диапазон скоростей, в котором наблюдался «кризис» металлического контакта, достаточно широк: от 0.5 до 1.2 км/с. Попытки кардинального увеличения верхнего предела пока не имели успеха. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования последних лет направлены на увеличение предельной скорости, при которой сохраняется металлический контакт.

Сказанное выше относится прежде всего к традиционной конструкции РУ. Проблема организации надежного электрического контакта в ускорителе с проводящим якорем заключается в выборе хорошей контактной пары материалов, поддержании плоской геометрии контактных поверхностей, создании необходимой величины силы нормального давления на скользящий контакт и обеспечении достаточно равномерного распределения тока через площадь контакта. Для выполнения этих условий было предложено множество конструкций, однако ни одна из них пока не оказалась удовлетворительной.

Одним из вариантов такой модификации является использование якоря со стержневой токовой арматурой, показанного на рис. 1.3.а, а также канала с обратным токоподводом, схема и сечение которого представлено на рис. 1.3.б. Он отличается от простейшей конструкции прежде всего наличием двух пар токопроводов, расположенных друг над другом. По верхнему рельсу ток течет от начала ускорителя до его выхода, где поворачивает в обратную сторону и втекает в ускоряемое тело с передней (по направлению движения) стороны. При этом какая - то доля тока замыкается и через хвостовую часть. Предполагается, что в таком ускорителе ток может быть распределен по развитой периферии контактов стержневой арматуры (выступающие концы которых показаны на рис. 1.3.а), а подвод тока в направлении, противоположном направлению движения, уменьшит влияние эффектов скоростного скинирования тока. Явное техническое преимущество системы заключается в наличии магнитного давления на направляющий рельс, улучшающего электрический контакт.

a	b
Рис. 1.3. а- Якорь со стержневой токовой арматурой, b- схема и сечение канала с обратным токоподводом. Здесь D- калибр канала, d- толщина обратного токоподвода, осуществляющего механический и электрический контакт с якорем.

Изображенная конструкция является очевидно пространственно трехмерной. Электромагнитные поля являются трехмерными и по своей природе. Для адекватного описания электродинамики ускорения и тепловых процессов в зоне контакта необходима замкнутая трехмерная нелинейная модель, объединяющая расчет распределения тока в якоре и локального тепловыделения с непосредственным расчетом ускоряющей силы. Представление процесса электромагнитного ускорения в двумерном виде, в котором все явления зависят от переменных x, y (рис. 1.2), является заведомо недостаточным для решения сложных прогнозных задач разгона. Для демонстрации этого факта в [8, 9] рассмотрена задача вычисления ускоряющей силы, действующей на тонкий стержень, зажатый между двумя токоподводами. Показано, что вычисление силы в предположении двумерного втекания тока дает результат, совершенно не согласующийся с законом сохранения энергии. В силу этого правильное вычисление поперечной компоненты плотности тока в контактной зоне при использовании двумерной модели невозможно даже в случае сплошного металлического якоря, не говоря уже о стержневой токовой арматуре рис. 1.3.а. Вместе с тем определение плотности тока в якоре является важнейшей задачей при моделировании таких систем.

2. Магнитный компрессор.

Рассмотрим другую задачу. Пусть проводник разгоняется за счет импульса тока длительностью около 100 мкс, а затем тормозится в сильном магнитном поле за время менее 1 мкс. Отданная им во внешнюю электрическую цепь энергия будет сосредоточена в коротком импульсе, давая тем самым гигантскую мощность. На этом принципе основано действие магнитного компрессора - элемента установки МОЛ («Магнитное Обжатие Лайнеров»), создаваемой для отработки узлов проектируемой установки «Байкал» [10].

Как указано в [10], создание мультимегаджоульного источника рентгеновского излучения с мощностью 500 - 1000 ТВт является одной из важнейших задач современного этапа развития фундаментальных и прикладных исследований. Из всего спектра можно выделить две основные области применения таких источников: 1) Зажигание термоядерных мишеней, организация термоядерного микровзрыва с энерговыделением 100 - 1000 МДж. Решение этой задачи - необходимый этап на пути создания энергетического термоядерного реактора с инерционным удержанием плазмы. Эксперименты по горению термоядерного горючего, а также по взаимодействию сопровождающих микровзрыв излучений с веществом и устройствами имеют большое значение как для получения фундаментальных знаний, так и для поддержания научно - технического потенциала коллективов, связанных с ядерным оружием. 2) Проведение фундаментальных исследований в области физики высоких плотностей энергии, индуцированных сверхмощными потоками рентгеновского излучения. К ним, в частности, относится исследование уравнений состояния вещества при экстремальных параметрах, создание коротковолновых лазеров, исследование фазовых превращений вещества и свойств вещества в сверхсильных магнитных полях.

Переход к параметрам, удовлетворяющим текущим потребностям этих областей, связан со строительством импульсных установок, превосходящих существующие по мощности и энергии более, чем на порядок величины. Создание установок с многомегаджоульным уровнем энергии излучения требует освоения новых технологий формирования электрических и рентгеновских импульсов.

В магнитном компрессоре установки МОЛ используется механизм генерации выходного импульса тока, аналогичный принципу работы взрывомагнитных генераторов (ВМГ). Известны ВМГ электрических импульсов, позволяющие получать токи 1 - 100 МА при мощности до 5 ТВт [11, 12]. ВМГ обладает высоким коэффициентом усиления мощности К = 30 - 100, который можно оценить, как отношение времени разгона проводников ко времени их торможения нарастающим магнитным полем в выходном контуре с резко падающей индуктивностью. Использование детонирующего взрывчатого вещества для разгона проводников в контуре сжатия магнитного потока предопределяет полное уничтожение ВМГ в каждом импульсе и специальные условия эксплуатации [13]. В разрабатываемой конструкции усилителя мощности разгон проводящей арматуры контура сжатия должен осуществляться электродинамическими силами. Для этого можно использовать сравнительно маломощные источники тока. Из трех основных используемых для ВМГ вариантов магнитных конфигураций для контура сжатия: коаксиальная (в том числе коническая, спиральная), дисковая с радиальными токами и полосковая, за основу в [10] принята последняя. Выбор такой геометрии устройства мотивирован следующими соображениями:

в данном варианте сжатие потока производится двумя движущимися во встречном направлении проводниками, которые подлежат замене в каждом импульсе, тем самым остальные элементы испытывают умеренные нагрузки в сравнительно «мягком» процессе разгона и не разрушаются;

часть магнитного потока ускоряющего поля пронизывает внутреннюю сжимаемую полость между пластинами и может быть использована как начальный сжимаемый поток, поэтому имеется возможность обойтись без специальной системы создания сжимаемого магнитного поля.

Принципиальная схема рассматриваемого устройства приведена на рис. 1.4.

В начальный момент времени конденсатор С_В в цепи индуктора заряжен до некоторого начального напряжения. После замыкания цепи контактами К_В по индуктору (и лайнеру) начинает течь разрядный ток. Созданное им в зазоре ускорителя магнитное поле взаимодействует с протекающим по лайнеру током, ускоряя лайнер вдоль оси х. В некоторый момент времени (вероятно, отличный от момента начала ускорения) ключом К_А замыкается цепь контура лайнера с заряженным конденсатором С_А. Соответствующий ток протекает по лайнеру и создает внутри полости лайнера дополнительное магнитное поле. Ускорившись, лайнер сжимает это поле. Изменение потока магнитного поля генерирует импульс тока в цепи лайнера, который окончательно и выводится из системы.

Рис. 1.4. Схема сечения пространственной области, в которой решается задача (в рамке), плоскостью y = const и электротехнические цепи устройства.

Достаточно корректный расчет массовой скорости движения плоского лайнера при питании от исходного «медленного» (100 мкс) источника тока не представляет особых сложностей в силу относительно малой диффузионной глубины проникновения магнитного поля в индуктор (и малой толщины лайнера) по сравнению с размерами ускоряющего зазора DX = 0,2 м и других размеров устройства.

Получение высокой выходной мощности при сжатии потока требует малых искажений плоской геометрии лайнера, т. к. преобразование кинетической энергии лайнера в магнитную энергию должно производиться по возможности одновременно на всей поверхности схлопывающейся щели между пластинами. Величина Dх отклонений от плоскости должна быть меньше, чем характерная длина торможения Х_торм пластин сжимаемым магнитным полем. Полагая коэффициент усиления мощности К равным 50, получим, что Dх < Х_торм » DX /K = 2 мм. Однако при выбранной плоской геометрии нет гарантии, что ускоряемые пластины будут двигаться плоскопараллельно. Если уменьшение разброса отклонений Dх по длине полосковой линии - это задача, решаемая техническими методами (точность начального позиционирования), то отклонения Dx по поперечному сечению щели при разгоне возникает из-за самосогласованного распределения токов и полей на краю полосковой линии [13]. Искажения формы пластины, вероятно, можно уменьшить, если профилировать плоскость индуктора, делая в поперечном сечении изначально неоднородную щель, либо предпринять какие- то иные меры.

На начальном этапе проектирования и создания усилителя мощности необходимо иметь представление о масштабе вероятных неоднородностей, возникающих при разгоне и торможении плоского лайнера с конечными размерами в магнитном поле, что и явилось причиной постановки задачи математического и численного моделирования динамики разгона пластин, а также других процессов, сопутствующих ускорению. Дополнительные технические подробности разрабатываемой системы представлены в [10].

3. Содержание работы.

Целью данной работы является представление систем математического моделирования процессов электромагнитного разгона и торможения проводящих тел в различных пространственных приближениях.

При изложении использованы только наиболее употребительные обозначения, поэтому их специальное описание опущено.

В данной работе в разд. 2 кратко изложена математическая модель для описания электромагнитных полей в канале электродинамического ускорителя типа рельсотрон на основе квазистационарного приближения системы уравнений Максвелла. Разд. 3 посвящен некоторым результатам двумерного описания разгона проводящих макротел в рельсотроне. При этом двумерное описание соответствует продольному сечению канала рельсотрона.

2. Математическая модель процесса электромагнитного ускорения проводящих макротел. Методы численного моделирования.

1. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах.

Необходимость рассчитывать пространственно многомерные электромагнитные поля возникает при решении широкого круга задач науки и техники (магнитогидродинамические генераторы энергии, электродинамические ускорители плазмы, астрофизические объекты, распространение электромагнитного импульса и т.д.). Электромагнитные поля можно описать моделью, содержащей систему уравнений Максвелла [16 - 19], уравнение неразрывности для заряда и закон Ома, а также соответствующие начальные и граничные условия.

Наличие полей и токов вызывает выделение тепла в проводящих подобластях, поэтому указанные уравнения необходимо решать совместно с уравнением энергии. К тому же величина электропроводности, вообще говоря, зависит от температуры, так что без учета уравнения энергии математическая модель будет несамосогласованной.

В ряде случаев, когда поля исследуются в средах с высокой электропроводностью, описание полей можно существенно упростить, используя систему уравнений Максвелла в магнитогидродинамическом (МГД) приближении [17, с. 313], [18, с. 227], [19, с. 43]. В этом приближении пренебрегают током смещения ¶E/¶t по сравнению с током проводимости j, а также опускают одно уравнение исходной полной системы уравнений Максвелла. При отсутствии в среде движения МГД - приближение совпадает с квазистационарным приближением [16, с. 415].

Приведем соображения, лежащие в основе этого приближения, следуя работе [19, с. 44]. Из полной системы уравнений Максвелла можно получить оценку величин напряженностей электрического и магнитного полей. Пусть x₀, t₀, s₀ - характерные значения пространственного и временного масштабов и электропроводности соответственно. Полученные соотношения показывают, что при выполнении условий

(s₀ t₀)^-1 << 1 (2.1)

(x₀ /c/t₀)² << 1 (2.2)

энергией электрического поля можно пренебречь по сравнению с энергией магнитного поля, а ток смещения пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Т.е. при выполнении неравенств (2.1) и (2.2) возможно использовать систему уравнений Максвелла в квазистационарном приближении.

Пренебрежение током смещения приводит к изменению типа системы уравнений. Из гиперболической она превращается в параболическую. Полученная система формально соответствует исходной, если в ней после перехода к безразмерным переменным положить скорость распространения возмущений, совпадающую со скоростью света c, равной бесконечности.

Для большого числа задач технической электродинамики, которые и рассматриваются в настоящей работе, условие (2.2) выполнено. Однако типичной для прикладных задач является ситуация, когда в расчетной области содержатся подобласти с резко различными электрофизическими свойствами. Например, это могут быть проводники (горячая плазма, электроды), в которых условие (2.1) выполнено, и диэлектрики (пустоты, холодный непроводящий газ и т.п.). В диэлектриках электропроводность равна нулю, а тем самым условие (2.1) не выполняется. Оценки [19], следующие из неравенств (2.1), (2.2), вообще говоря, перестают быть справедливыми.

Будем рассматривать случай таких систем и процессов, в которых выполняется условие (2.2). В рассматриваемой области G могут содержаться проводники (в том числе идеальные) и диэлектрики. При этом в проводящей подобласти выполнено и условие (2.1) применимости квазистационарного приближения. Будем описывать эти случаи системой уравнений Максвелла в квазистационарном приближении.

Такой подход диктуется следующими соображениями. Неравенство (2.2) означает, что электромагнитная волна проходит характерный размер системы за время, существенно меньшее характерного. Попытка численного решения полной системы уравнений Максвелла приведет в этом случае к необходимости использовать очень малый (по сравнению с характерным временем рассматриваемого процесса) шаг сетки по времени, чтобы описать движение электромагнитной волны в диэлектрике, чего не требуется для практических целей в рассматриваемых задачах.

Характерная скорость исследуемых процессов на несколько порядков ниже скорости света, поэтому расчет движения волны в диэлектрике совершенно невозможен. Попытка такого расчета потребует огромных затрат машинного времени. Описание же полей в диэлектрике с помощью полной системы уравнений Максвелла, а в проводнике - системой уравнений Максвелла в квазистационарном приближении, приведет к существенно неоднородному вычислительному алгоритму. Это менее удобно с точки зрения реализации и ведет к более громоздкому процессу вычислений. В то же время для широкого круга задач основной интерес представляют поля в проводящей подобласти. Поэтому необходимо иметь модель, позволяющую наиболее простым образом, не усложняя решение всей задачи, учесть наличие диэлектрика. Желательно, чтобы эта модель была однородной по различным подобластям и давала физически содержательное решение.

Монография [14] посвящена разработке и обоснованию однородных методов математического моделирования пространственно многомерных квазистационарных (или МГД) электромагнитных полей и сопутствующих явлений в средах с резко неоднородными электрофизическими свойствами. В основном это диэлектрики и проводники, в том числе идеальные проводники. В средах при этом возможно движение, а уравнения Максвелла внутри области могут решаться совместно с электротехническими уравнениями внешней цепи. В [14] приведены примеры моделирования конкретных физических процессов для пространственных задач различной размерности, включая трехмерный случай. Изложение ведется на примере электродинамических ускорителей проводящих тел.

Известны преимущества однородных вычислительных алгоритмов [18]. Такие алгоритмы позволяют вести расчет во всей временной или пространственной области по одним и тем же формулам, не выделяя явно какие - либо особенности решения или границы подобластей, которые могут возникать и изменяться во времени, тем самым избегая процедуры сшивки решений. При этом происходит экономия памяти используемой ЭВМ и ускорение вычислений за счет уменьшения числа действий из - за отсутствия необходимости явного выделения границ раздела.

Однородная модель нужна и для решения ряда задач магнитной гидродинамики, в которых положение границ непроводящих подобластей (холодного газа) может быть заранее неизвестно [20, 21]. В пространственно одномерном случае существует эффективный численный алгоритм (потоковая прогонка), позволяющий вести расчет однородным образом [18, 22]. Для пространственно многомерных задач такие методы представлены в [14].

При описании электромагнитных явлений во многих прикладных задачах существенным элементом являются внешние электрические цепи. С точки зрения формулировки математической модели учет такой цепи состоит в присоединении к исходной системе уравнений дополнительных соотношений, называемых электротехническими уравнениями цепи. Эти уравнения, вытекающие из законов Кирхгофа, связывают значения разрядного тока в цепи, напряжения на емкости и напряженности электромагнитного поля на некоторых участках границы области, в которой ищется решение исходной задачи. Разрядный ток в цепи при этом зависит не только от ее электротехнических параметров, но определяется и электромагнитными процессами во всей системе.

Попытки упрощенно решить вопрос учета электротехнической цепи, задавая, например, экспериментальный закон изменения разрядного тока, оказываются, вообще говоря, несостоятельными. Математическая модель при этом перестает быть самосогласованной. Это может вести, в частности, к нарушению баланса энергии в системе (см. [18]).

Для пространственно одномерного случая вопросы построения численного алгоритма расчета процессов во внешней цепи совместно с системой уравнений магнитной гидродинамики были рассмотрены в [18]. В книге [14] эти вопросы обобщены на случай двух и трех измерений. При этом оказалось, что процедура одновременного описания внешности трехмерного ускорителя путем использования сосредоточенных характеристик (элементов внешней цепи) и внутренности путем использования трехмерной системы уравнений Максвелла для распределенных величин является противоречивой. Выражается это в необязательности выполнения закона сохранения энергии в системе ускоритель плюс цепь, а на языке уравнений - в несамосопряженности соответствующего оператора.

В [14] сформулирована и реализована модель, которая позволяет согласованно описать процессы во внешней электрической цепи (с использованием электротехнических уравнений) и трехмерные электромагнитные поля внутри ускорителя (с использованием системы уравнений Максвелла в квазистационарном приближении). При этом в модели автоматически выполнен закон сохранения энергии, а соответствующий оператор является самосопряженным.

Большой интерес представляет рассмотрение поставленных выше вопросов в случае движения проводников в системе, что позволяет расширить исследование на широкий круг новых явлений.

Формально от системы уравнений в квазистационарном приближении система МГД – приближения отличается наличием лишь конвективного слагаемого. Однако более существенным отличием модели в отсутствии движения является возможность исключить H и получить одно уравнение второго порядка относительно E. В МГД случае такую процедуру выполнить не удается. Стандартный путь решения уравнений Максвелла в магнитной гидродинамике состоит в исключении E путем выражения напряженности электрического поля через rot H из одного уравнения и подстановки его во второе. Однако в случае непроводящих подобластей исключить E в них таким образом нельзя, так как электропроводность обращается в нуль.

Можно получить задачу в терминах H в проводящей части, а в непроводящей части поле H описать системой двух уравнений с соответствующими условиями сопряжения на границе. Однако такая модель является существенно неоднородной и неудобна, на наш взгляд, для численного решения.

Приведем разработанную в [14] постановку задачи для определения электромагнитных полей внутри области после введения векторного потенциала A:

где А есть решение следующей задачи:

(2.3)

Здесь учтена неоднородность задачи по пространству: q(s) = 0 в G₁ и q(s) = 1 в G₂. В (2.3) G = G₁ È G₂, G – рассматриваемая область, G₁ = {r Î G: s > 0}, G₂ = {r Î G: s = 0}, ¶ G₁ и ¶ G₂ – границы G₁ и G₂ соответственно, ¶ G₁₂ = ¶ G₁ ∩ ¶ G₂, Г₁ – часть общей границы ¶ G, на которой задано условие для , (то есть для ), Г₂ – часть ¶ G, на которой задано условие для H_t (Y_t – известная вектор - функция), ¶ G = Г₁ È Г₂, Г₁₂ = Г₁ ∩ ¶ G₂, g₁₂ = ¶ G₁₂ È Г₁₂. В записи (2.3) использованы смешанные эйлерово – лагранжевые (СЭЛ) переменные: D/Dt = ¶/¶t + (v,Ñ), где ¶/¶t – производная при фиксированных эйлеровых переменных, D/Dt – при фиксированных СЭЛ - переменных; v – скорость движения частиц пространственной области, u – скорость движения частиц вещества.

2. Постановка граничных условий на торцах ускорителя.

Рассмотрим постановку решаемой задачи. При ускорении тел в рельсотроне наиболее сложные и интересные явления происходят в близкой окрестности якоря, характерная протяженность которой сравнима с поперечным размером канала. Поэтому обычно при моделировании целесообразно ограничить рассматриваемую область и вести описание полей в пространственной области, жестко связанной со скользящим якорем. Длина этой области (в направлении оси y – см. рис. 1.2) составляет несколько калибров ускорителя в обе стороны от якоря. При таком подходе возникает проблема задания граничных условий на передней и задней границах исследуемой области. На боковых границах области этой проблемы нет, так как канал рельсотрона обычно заключен в проводящий (далее считаем идеально проводящим) силовой бандаж.

Если в (2.3) вектор Y_t известен, то ее решение A позволяет определить физические поля H, E. В рамках данной модели определение вектора Y_t на границах G является проблематичным.

В [14] разработана модель для однородного (в пределах пространственных подобластей с различным типом электропроводности) описания электромагнитных полей в такой системе. При постановке задачи в [14] (см. также [15]) считалось, что на торцах пространственной области (движущейся вместе с якорем) задано тангенциальное магнитное поле, созданное бесконечно тонкими проводниками, присоединенными к центру направляющих. Количество таких проводников совпадало с количеством рельсов. По проводникам при этом протекал заданный ток. Такая модель позволяет обеспечить протекание заданного полного тока. Однако имеются явные недостатки такого приближения, и его несоответствие решаемой задаче очевидно. В частности, картина течения тока около границ по y в рассматриваемой области не соответствует картине, имеющейся в исходном ускорителе. Вместе с тем подобные краевые эффекты не должны заметно сказаться на процессах в малой окрестности якоря.

Однако для более сложных конструкций рельсотронов с увеличенным числом продольных токопроводов [23] результаты расчета могут отличаться от описанных, т.е. влияние искусственных граничных условий, несоответствующих физике процесса, будет существенным. Для конструирования ускорителей принципиально важно, как было показано в [8, 9], верное описание токов в якоре со сложной конфигурацией проводников. Поэтому необходимо разработать модель для более точного описания электромагнитных полей в ускорителе, соответствующего физике явления.

Для решения полной пространственно трехмерной задачи в [8] рассмотрена предварительно следующая двумерная задача. Пусть в области G (рис. 2.1) имеется N проводников, по которым протекают заданные токи , где £ N. При этом использована система координат вида рис. 1.1, то есть точки имеют координаты . Проводники считаются бесконечно длинными в направлении оси . В данном случае электромагнитное поле имеет структуру [24, c. 203].

Рис. 2.1. Схема пространственно двумерной области

В работе [8] на основе системы уравнений Максвелла построена модель, обеспечивающая удовлетворение условий протекания заданных токов в двумерном случае. Всем необходимым условиям на границе раздела сред можно удовлетворить, если допустить скачок продольной компоненты E_y при переходе через границу на величину c_k(t), подлежащую определению.

Причина появления такого скачка состоит в том, что классическое решение задачи с заданными начальными и граничными условиями, которое имеет непрерывные , , при переходе через границу и интегрируемо с квадратом в G, определяется единственным образом в ограниченной области G (см. [16, 14]). Тем самым классическое решение задачи с нулевыми начальными и граничными условиями (предполагается его существование) тождественно равно нулю и является единственным. Оно не может обеспечить протекание заданного тока, поэтому необходимо использование другой модели.

Отказ от классических [16, 24] условий сопряжения на границах проводников позволяет обеспечить выполнение требования протекания заданного тока. При этом получается задача, содержащая интегро - дифференциальное уравнение.

Вместо системы вида (2.3), соответствующей рассматриваемой ситуации, имеем:

в S_k , k=1, 2 … N, (2.4)

DA = 0 в G₂ ,

Конечно - разностная дискретизация дифференциальных частей этих уравнений не составляет трудностей и делается так же, как и ранее [14, 15]. Учет же интегрального члена составляет особенность данной задачи. При численном решении (2.4) хорошие результаты удается получить за счет расширения числа неизвестных разностной задачи на N, равное количеству проводников в двумерной области, с последующей симметризацией разностного оператора. Каждое новое неизвестное есть численная квадратура, соответствующая (2.4).

Данная задача является лишь вспомогательной при решении трехмерных задач. При этом ее решение позволяет найти тангенциальные компоненты H на границе, что дает необходимое граничное условие для решения трехмерной задачи. Она позволяет найти интересующие нас пространственно трехмерные поля H, E, T и т.д. Отметим, что в случае рельсотрона необходимо решать вспомогательные двумерные задачи на обоих торцах рассматриваемой области.

3. Модель электромагнитного разгона.

В качестве принципиально трехмерной ускорительной системы ниже в работе рассмотрен так называемый “muzzle - fed” канал (рис. 1.3), подводящий ток к якорю со стороны дульного среза. В канале ускорителя четыре токопровода. По наружным токоподводам, создающим ускоряющее магнитное поле в канале, ток протекает до дульного среза, после чего поворачивает в обратном направлении и через направляющие контактные рельсы замыкается через якорь. Разработанный и представленный алгоритм был применен для описания токопереноса в данном ускорителе со стержневым якорем, состоящим из 8 отдельных стержней квадратного сечения.

При разработке модели использовано резкое различие длины ускорителя (по y) и его поперечных размеров. Учтено также, что единственной заданной извне электромагнитной величиной можно считать полный ток, определяемый источником питания. Поэтому естественно рассмотреть модель, в которой на торцах расчетной области заданы тангенциальные компоненты магнитного поля, соответствующие бесконечно длинной (вдоль оси y) системе проводников, для каждого из которых задан полный ток. Это поле является решением соответствующей пространственно двумерной (в переменных (x, z) с рис. 1.2) задачи. Решение же трехмерной задачи получается путем использования описанного в [14] алгоритма по заданным тангенциальным компонентам магнитного поля.

Все модели, построенные и исследованные в [14], доведены до уровня программной реализации и получения численных результатов. В качестве примеров численно решены задачи различной пространственной размерности, начиная от нуль- до трехмерной. Разработаны, обоснованы и реализованы вычислительные алгоритмы, базирующиеся на различных подходах: конечноразностные и конечноэлементные.

3. Пространственно двумерные модели электромагнитного ускорения проводящих макротел, примеры применения.

Существует большое число работ, посвященных моделированию процессов, протекающих в электродинамических ускорителях. Сложность изучаемых процессов заставляет, как правило, делать существенные предположения, упрощающие модель. Это либо представление ускорителя в виде эквивалентной электротехнической цепи, либо задание извне таких важных характеристик, как протекающий ток, скорость движения, либо предположения о структуре поля, либо отсутствие движения и т.п., нарушающие самосогласованность задачи.

Необходимость трехмерного описания электромагнитных полей в канале рельсотрона не означает, что пространственно двух -, одно - и нуль – мерные модели не имеют права на существование. Наоборот, использование каждого из этих приближений в своей области изменения параметров для изучения своих характеристик ускорителя может быть наиболее эффективным. При этом возможно использовать очевидное преимущество моделей малой размерности – их простоту. Это позволяет провести многочисленные и многовариантные расчеты задачи по исследованию процесса ускорения. В то же время трехмерный подход способен внести поправку и оттестировать расчеты в малоразмерном варианте.

Наиболее эффективен, на наш взгляд, подход, при котором для описания одного и того же процесса используется набор моделей разной размерности. Подобный метод представлен в [14]. Задача рассматривается в пространственно двумерном и трехмерном вариантах для нестационарного случая. В двумерном варианте исследуются две модели: сверхпроводящий якорь и якорь, обладающий конечной проводимостью. Это две первые модели набора, состоящего из трех моделей, для моделирования процесса ускорения. Третья модель - модель для пространственно трехмерного случая и проводящего якоря. Сравнение результатов описания одного ускорителя с помощью трех различных моделей позволило исследовать влияние различных характеристик и процессов на полученный результат, а также с уверенностью использовать для серийных расчетов простые модели, зная при этом отличие даваемого ими результата от более детального, но и более сложного, описания.

1. Решение пространственно двумерной задачи в плоскости сечения y = const.

Решение задачи, описанной в разд. 2, п. 2 может представлять самостоятельный интерес при моделировании распределения электромагнитных полей в сечении рельсотрона плоскостью y = const. Это позволяет, в частности, определить погонную индуктивность канала рельсотрона (без учета концевых эффектов). Один из примеров такого расчета приведен в работе [8].

В работе [25] аналогичное сечение ускорителя используется для исследования влияния внешнего проводящего кожуха на характеристики рельсотрона. Показано, что при определенных параметрах внешний кожух может способствовать лучшему электрическому контакту проводников за счет дополнительного поджима их друг к другу.

2. Решение пространственно двумерной задачи в плоскости сечения z = const (плоскость симметрии).

Для получения качественных результатов, связанных с массовыми просчетами различных комбинаций материалов, вполне достаточно двумерного приближения. В частности, при моделировании явлений в канале ускорителя типа рельсотрон наиболее информативным является изучение решения в двумерной области, соответствующей сечению рельсотрона продольной плоскостью z = const (см. рис. 1.2).

Модель процесса электродинамического ускорения в пространственно двумерном приближении состоит из системы уравнений Максвелла для двух компонент напряженности электрического поля (в продольной плоскости) и одной компоненты напряженности магнитного поля (в поперечном), уравнения для температуры и уравнения для движения ускоряемого тела [14, 26, 27]. Полная постановка задачи включает указанную систему уравнений вместе с начальными и граничными данными.

В уравнениях электропроводность зависит от r (различные материалы), t (движение проводников) и температуры (своя температурная зависимость для каждого материала). Для описания кинематики дополнительно решается уравнение движения якоря под действием силы Лоренца, определяемой обычным образом [14]. Решение уравнения энергии проводится как и в [14]. А для описания температуры дополнительно решается уравнение энергии обычного вида, в котором предусмотрена возможность фазовых переходов веществ (см. [28]). Для решения задачи Стефана (описание фазовых переходов вещества – плавления и испарения) в [8, 14] использовался однородный метод [29] «размазывания» границы фазового перехода.

Работы [26, 27] посвящены таким пространственно двумерным расчетам. Несмотря на их заведомо качественный характер, для рельсотрона традиционной конструкции в них удалось определить точку “кризиса электрического контакта”, положение которой соответствует экспериментальным данным. Отметим изучение влияния точек особенности решения на получаемые характеристики ускорителя, проведенное в [27]. Таких точек в рельсотроне очень много. Это прежде всего различные углы, а также сопряжения различных материалов, ведущие к появлению сингулярностей решения.

В работах [7, 30] также использовано указанное пространственно двумерное приближение. При этом исследовано влияние анизотропии проводящего материала на эффект скоростного скин – слоя. Для примера на рис. 3.1 показана типичная картина линий уровня T и H для традиционных материалов, на рис. 3.2 – аналогичная картина распределения T и H для направляющих слоистой структуры (нижний слой – из материала с плохой электропроводностью), а на рис. 3.3 – для материалов с анизотропной электропроводностью. Видно резкое различие характера распределений тока, которое обещает значительное, по крайней мере в 2 раза, увеличение критической скорости по сравнению с ускорителем с традиционными материалами.

Картина линий тока в рельсотроне с традиционными рельсами демонстрирует типичный скоростной скин – слой. При этом втекание тока в якорь происходит фактически «в точку». Результатом является плавление и испарение материала якоря. Наличие слоя из материала с плохой электропроводностью затягивает область втекания, вследствие чего происходит увеличение критической скорости разгона. Наилучшие же результаты показывает материал с анизотропной электропроводностью, который плохо проводит ток в поперечном к движению направлении. При этом достигается радикальное расширение области втекания тока.

Рис. 3.1. Типичная картина линий уровня T и H для традиционных материалов.

Рис. 3.2. Типичная картина линий уровня T и H для направляющих, имеющих слоистую структуру.

Рис.3.3. Линии уровня T и H для анизотропных материалов.

Аналогично представленным выше результатам численного моделирования процессов на скользящих контактах в [7] кратко описаны результаты и библиография работ, в которых проведено численное моделирование явлений в зоне контакта с целью разработки мер по увеличению критической скорости.

4. Заключение.

В работе обсуждены системы математического моделирования явления электромагнитного разгона и торможения проводящих макротел. Несмотря на сравнительную простоту протекающих при электромагнитном ускорении – торможении процессов и на использование в основе модели классической системы уравнений Максвелла, при моделировании необходимо решить ряд принципиальных вопросов. Они порождены пространственной многомерностью задачи, нестационарностью, наличием резко неоднородных областей как по времени, так и по пространству и т.д. Тем не менее ряд проблем удалось решить:

- Построена и обоснована модель электромагнитного разгона проводящих макротел на основе квазистационарного приближения системы уравнений Максвелла при наличии диэлектрических подобластей. Модель описывает явления практически однородным по подобластям с различным типом проводимости образом.

- Разработана модель ускорения, позволяющая вести решение задачи в короткой подвижной области, на торцах которой поставлены специальные граничные условия.

- Предложена схема учета особенностей как конструкции канала и якоря, так и специфических эффектов электродинамики, связанных с высокой (порядка 1 км/с) скоростью перемещения и скоростью нагрева якоря до фазовых переходов включительно.

- Представлены некоторые результаты двумерного описания разгона проводящих макротел в рельсотроне

Работа [31] является непосредственным продолжением данной. В [31] описана математическая модель магнитного компрессора и показаны получаемые с ее помощью результаты численного моделирования. Представлены также некоторые результаты двумерного описания разгона проводящих макротел в рельсотроне, а также различные способы пространственно трехмерного описания полей в канале рельсотрона. Проведено сравнение результатов применения модели [8] с данными [14, 15] на примере численного решения одной задачи., свидетельствующее о значительном преимуществе модели [8]. Кроме того, описаны некоторые результаты моделирования рельсотрона с обращенным токоподводом, показавшие богатую картину распределения токов и полей.

5. Благодарности.

Автор выражает свою благодарность Ю.П. Попову, А.П. Лотоцкому и другим своим коллегам, результаты совместных работ с которыми отражены в настоящей статье.

Представленные результаты получены за последние 10 - 15 лет. В настоящее время тематика таких исследований частично поддерживается грантами РФФИ (проекты № 00 – 01 – 00169 и № 00 – 02 – 16130) и контрактом с Минпромнауки РФ.

6. Список литературы

1. "Материалы I Всесоюзного семинара по динамике сильноточного дугового разряда в магнитном поле" (Новосибирск, 10-13 апреля 1990 г.), под ред. М.Ф. Жукова, Новосибирск, изд. Инст. Теплофизики СО АН СССР, 1990, 350 с.

2. "Материалы II Всесоюзного семинара по динамике сильноточного дугового разряда в магнитном поле" (Новосибирск, 4-6 декабря 1991г.), под ред. В.Е. Накорякова, Новосибирск, изд. Инст. Теплофизики СО РАН, 1992, 367 с.

3. Selected Papers from the 10^th Electromagnetic Launcher Technology (EML) Symposium // IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 37. N. 1. January 2001. P.p. 1 – 512.

4. М.П. Галанин, А.Д. Лебедев, А.П. Лотоцкий, К.К. Миляев, В.В. Савичев, Б.А. Урюков. Об использовании электродинамических ускорителей для прямого запуска тел в космос. // Совещание “Перспективы МГД и плазменных технологий в аэрокосмических приложениях”. ИВТ РАН. Москва, 24-25 марта 1999 г. Сборник докладов. 10 с.

5. В.Б. Железный, А.Д. Лебедев, А.В. Плеханов. Воздействие на динамику ускорения якоря в РЭУ // в [2]. С.16-32.

6. В.П. Базилевский, Р.М. Заятдинов, Ю.А. Кареев. Кризис электропроводности высокоскоростного металлического контакта // в [2]. C. 285-303.

7. М.П. Галанин, А.Д. Лебедев, А.П. Лотоцкий, К.К. Миляев. Тепловые и электромагнитные процессы на контактах электродинамического ускорителя // Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 2000, N 42. 32 с.

8. М.П. Галанин, А.П. Лотоцкий, Ю.П. Попов, С.С. Храмцовский. Численное моделирование пространственно трехмерных явлений при электромагнитном ускорении проводящих макротел // Математическое моделирование. 1999. Т. 11. N 8. С. 3-22.

9. M.P. Galanin, Yu.A. Khalimullin, A.P. Lototsky, К.К. Milyayev. 3d Modelling of Electromagnetic Fields in Application to Electromagnetic Launchers. // IEEE Trans. On Magn., 2003, V. 39. N 1. In press.

10. Э.А. Азизов, С. Г. Алиханов, Е.П. Велихов, М.П.Галанин, В.А. Глухих, Е.В. Грабовский, А. Н. Грибов, Г.И. Долгачев, А.М. Житлухин, Ю.Г. Калинин, А.С. Кингсеп, А.И. Кормилицын, В.П. Ковалев, М.К. Крылов, В.Г. Кучинский, В.А. Левашов, А.П. Лотоцкий, С.Л. Недосеев, О.П. Печерский, В.Д. Письменный, Ю.П. Попов, Г.П. Рыкованов, В.П. Смирнов, Ю.А. Халимуллин, В.И. Четвертков. Проект «Байкал».- Отработка схемы генерации электрического импульса. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2001. №. 3. С.с. 3 - 17.

11. А.И. Павловский, Р.З. Людаев, В.А. Васюков и др. Магнитокумулятивные витковые генераторы быстронарастающих импульсов тока. // В кн. Сверхсильные магнитные поля. Физика, техника, применение. Под ред. В.М. Титова и Г.А. Швецова. М., Наука. 1984. 415 с.

12. В.К. Чернышев, В.Н. Мохов, А.М. Буйко и др. Основные типы взрывомагнитных генераторов и их применение. // В кн. Мегагауссная и мегаамперная импульсная технология и применения. Под ред. В.К. Чернышева, В.Д. Селемира, Л.Н. Пляшкевича. Том 1, Саров, ВНИИЭФ, 1997.

13. Г.А. Кнопфель. Сверхсильные импульсные магнитные поля. М., Мир. 1972. 391 с.

14. М.П. Галанин, Ю.П. Попов. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование. М., Наука, Физматлит, 1995, 320 с.

15. М.П. Галанин, В.П. Игнатко, Ю.П. Попов, С.С. Храмцовский. Пространственно трёхмерные расчеты электродинамического ускорения проводящих макротел. // ЖТФ. 1995, т. 65, вып. 6, с. 9-20.

16. И.Е. Тамм. Основы теории электричества. М., Наука, 1989, 504 с.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 623 с.

18. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. 352 с.

19. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физматгиз, 1962. 248 с.

20. Брушлинский К.В., Зуева Н.М., Морозов А.И. Установление квазиодномерного течения плазмы в профилированном канале// Изв. АН СССР: Механика. 1965. № 5. С. 3- 6.

21. Брушлинский К.В., Морозов А.И., Палейчик В.В. Расчет квазиодномерного течения ионизующегося газа в профилированном канале// Изв. АН СССР: Механика жидкости и газа. 1970. № 5. С. 29- 32.

22. Дегтярев Л.М., Фаворский А.П. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно меняющимися коэффициентами. // ЖВМ и МФ. 1969. Т. 9, № 2. С. 211- 218.

23. Yu.A. Kareev, A.P. Lototsky, Yu.A. Halimullin. Metal Projectile Acceleration in Muzzle - Fed Railgun. // 6^th European Symposium on EML Technolodgy (The Hague, 25-28 May 1997). Proceedings, p. 314-321.

24. В.В. Никольский, Т.И. Никольская. Электродинамика и распространение радиоволн. М., Наука, 1989, 544 с.

25. E.M. Drobyshevski, S.V. Yuferev. The Use of Conducting Shields for Increasing the Operating Current Limit in a Rail Launcher // IEEE Transactions on Magnetics. 1995. V. 31. № 1. P.p. 291 – 294.

26. М.П. Галанин, А.В. Плеханов, В.В. Савичев. Исследование поведения металлического контакта при электродинамическом ускорении проводящих тел. // Теплофизика высоких температур, 1996, т. 34, № 2, с. 293-298.

27. М.П. Галанин, В.В. Савичев. Особенности электромагнитного поля и их проявления при моделировании электрического контакта проводящих тел в электродинамическом ускорителе типа рельсотрон. // Теплофизика высоких температур, 1997, т. 35, № 4, с. 517-523.

28. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

29. А.А. Самарский, Б.Д. Моисеенко. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. // ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, № 5, с. 816-827.

30. M.P. Galanin, A.D. Lebedev, K.K. Milyaev. An Investigation of the Effects of Some Properties of Materials on the Characteristics of Armature Acceleration in a Railgun // IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 37. N. 1. January 2001. P.p. 411 – 415.

31. М.П. Галанин. Компьютерное моделирование в задачах конвертирования электромагнитной и кинетической энергии. Решение задач. // Информационные технологии и вычислительные системы. В печати.