УДК 519.95:62-501.72 ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Академик В.А. ГЕЛОВАНИ, П.В. КУРАКИН, Г.Г. МАЛИНЕЦКИЙ, С.А. МАХОВ

УСТОЙЧИВОЕ РАЗВИТИЕ И СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ В МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ФОРРЕСТЕРА С УПРАВЛЕНИЕМ

В классической работе Дж. Форрестера [1] в начале семидесятых годов была построена математическая модель мировой динамики. Мировая система в этой модели описывается следующими переменными: население Земли P, капитал K, доля капитала в сельском хозяйстве X, загрязнение Z и запасы невозобновляемых природных ресурсов R. Динамику этих переменных определяет система дифференциальных уравнений, которая в упрощенном виде выглядит так:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
где B – темп рождаемости, D – темп смертности, K₊ – скорость производства основных фондов, T_K =40 лет – постоянная износа основных фондов, X₊ – прирост доли сельскохозяйственных фондов, T_X =15 лет – время выбытия доли сельскохозяйственных фондов, Z₊ – скорость генерации загрязнения, T_Z = T_Z(Z) – характерное время естественного разложения загрязнения, R _– – скорость потребления ресурсов. Компьютерный анализ этой системы показал, что при сохранении тенденций развития глобальной системы, имевших место в начале 70-х годов, рост населения P, капитала K, материального обеспечения приведет к истощению невозобновляемых ресурсов, чрезмерному загрязнению Земли и сменится быстрым падением численности населения и упадком производства. В качестве альтернативы такому упадку Дж. Форрестер предлагал перейти к глобальному равновесию, которое понималось им как выход переменных модели на стационарные значения, однако в рамках форрестеровской модели таких решений нет (в силу уравнения (5)).

В работах [2, 3, 4] был предложен способ вывести систему (1)–(5), определяющую мировую динамику, на стационарный режим. Было предложено ввести перераспределение фондов, идущих дополнительно на восстановление ресурсов, борьбу с загрязнением и изменение доли фондов в сельском хозяйстве. Кроме того, предполагалось, что соответствующим перераспределением финансовых ресурсов можно управлять. Для определения, сколько потребуется капиталовложений в новые технологии, в [2, 3, 4] также было предложено для этих отчислений составлять и решать задачу оптимального управления с задаваемым критерием. Было показано, что, в рамках такой управляемой модели, мировая система может избежать кризиса на достаточно продолжительном временном интервале (до конца XXI века). Оказалось, что модель допускает ненулевые стационарные решения, устойчивые при неограниченном возрастании времени.

Оптимальное управление в этом случае было достаточно сложным. Во многом оно опиралось на опыт управления космическими аппаратами, имевшийся у одного из инициаторов этих работ – профессора В.А. Егорова. В настоящей работе мы покажем, что тех же целей можно достичь гораздо более простыми методами, используя элементарные алгоритмы управления. Естественно ожидать, что их ясность и простота дает надежду на то, что такие меры и могут сработать при выводе мирового сообщества на траекторию устойчивого развития.

Как и в [2, 3, 4] будем считать, что часть капитала направляется на восстановление ресурсов и на борьбу с загрязнением. Соответственно в правую часть уравнения (5) добавляется слагаемое , где – доля фондов , идущая на восстановление ресурсов, – стоимость восстановления единицы ресурса. Аналогично, в правую часть уравнения (4) добавляется отрицательный член , где – доля фондов , направляемая на борьбу с загрязнением, – стоимость очистки единицы загрязнения. В отличие от упомянутых работ, будем считать, что не проводится модификации сельского хозяйства, так как это не влияет на существование стационарных решений и потому на выбранном уровне описания является излишним. Материальный уровень жизни (как и в [2, 3, 4]) вычисляется по новой формуле: , где C_стар – уровень жизни из модели [1]. Остальные определения, соотношения и уравнения модели Форрестера сохраняются, поэтому при , , данная модель совпадает с моделью (1)–(5). Функции , в отличие от упоминавшихся работ В.А. Егорова и его соавторов не являются произвольными функциями времени, но определяются через основные переменные модели. По аналогии с [5] для них пишутся уравнения:
, (6),
где G_R(R), G_Z(Z) –инвестиции (с точностью до множителей T_Ui, i = R, Z) в соответствующие отрасли индустрии по восстановлению ресурсов и очистке загрязнений, T_UR, T_UZ – время выбытия части фондов в данных отраслях (отражая тот факт, что фонды не создаются и не исчезают мгновенно). Они считались константами одного порядка с T_X, т.е. 10-15 лет. При или малых T_UR, T_UZ (меньше 5 лет) уравнения (6) превращаются в равенства U_R = G_R(R(t)), U_Z = G_Z(Z(t)), представляющие собой прямую зависимость управлений от поведения основных переменных, "отслеживающих" кризис, что можно трактовать как установление правила расчета управлений U_R и U_Z. Для поиска стационарных решений оба способа оказываются равнозначны, поскольку при стационарном режиме выполняется , где i = R, Z.

Функции G_R и G_Z брались из класса степенных функций: G_R(R) = A∙(1 – (R/R₀)^a), G_Z(Z) = B∙Z^b, где R₀ = R(1900) – начальный запас ресурсов, A, a, B, β – произвольные параметры, меняя которые, можно задавать G_R, G_Z и, как следствие, U_R, U_Z, что влияет на остальные переменные модели. Иначе говоря, при помощи параметров A, a, B, β можно управлять поведением переменных данной модели.

К искомым стационарным решениям естественно предъявить ряд желательных требований: 1) Z ≤ Z_max; 2) R ≥ R_min; 3) C ≥ C_min; 4) F ≥ F_min, где Z_max – максимально допустимый уровень Z, а R_min, C_min, F_min – минимально допустимые уровни R, C, F. Помимо этих ограничений, на решения налагалось требование невозрастания ресурсов: . Чтобы это выполнялось автоматически, считалось _{РПаЎ±б>юя #%юяяя"яяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяямҐБM рїЉ bjbjв=в=.ЂWЂWEяяяяяяlЬЬЬЬЬЬЬрFFFFRрЅ>jjjjjjjjTVVVVVVы јV!ЬjjjjjV`ЬЬjjw```jFЬjЬjT`jT`ф`TЬЬTj^ A‚Ј ДрVF°jTTЌ0ЅTЧ FЧ T`ррЬЬЬЬЩ0O2:0 =0 @538AB@0F8N =0CG=>9 Web-?@575=B0F88. #G5=><C A5:@5B0@N >@>28=C .. ! # / ! @>HC 70@538AB@8@>20BL Web-?@575=B0F8N ?> B5<5 «#?@02;5=85 @8A:0<8 8 :@878AK A>2@5<5==>9 >AA88» 4;O @07<5I5=8O =0 Web-A09B5 . !?8A>: 02B>@>2: ($ :064>3> 02B>@0) ..0;8=5F:89 B25BAB25==K9 @540:B>@:($)$54>@8=0 ... e-mail: OYUFED@KELDYSH.RU @01.B5;. 250-79-98 _____________________________ @0B:>5 A>45@60=85 Web-?@575=B0F88 (>3;02;5=85 87 5-6 ?C=:B>2) 1)=D>@<0F8O >1 8AA;54>20=8OE ?> C?@02;5=8N @8A:><,:>B>@K5 2K?>;=ONBAO 2 2 @0<:0E 0:045<8G5A:8E 8 <56254><AB25==KE ?@>3@0<< 2) =D>@<0F8O > :>=D5@5=F8OE ?> MB>9 ?@>1;5<0B8:5 , :>B>@K5 2 MB>9 >1;0AB8 >@30=87C5B "15.03.2004" / ?>4?8A8 02B>@>2 / //2870 #G5=>3> A5:@5B0@O/ ь<BDJb68Љ эцэцэцэцэPJmH sH PJ ` ИЦ 4„ўь8f¬ґ8B ю " L N P R € Љ эээээээээээээээээээээээээээЉ ю,1ђh°‚. °ЖA!°Ђ"°Ђ#ђn$ђn%°°Д°ДђД i:@ся:1KG=K9CJ_HaJmHsHtH:A@тяЎ:A=>2=>9 H@8DB 0170F02Z@т2"5:ABCJOJQJ^JaJU яяяя0PdkђBQ~њіЦЪЎя&'()DG�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂ�0ЂЂЉ Љ Љ U]BPowHV)/G…†ikЂЃЎЈNPТФ)CG3Ё·я&)CGяя$54>@8=0 ;L30BC:\WINDOWS\Application Data\Microsoft\Word\2B>:>?8O template1.asd$54>@8=0 ;L30D:\>@0\template1.docя@E°° яяUnknownяяяяяяяяяяяяGђ‡:яTimes New Roman5ђЂSymbol3&ђ‡:яArialGђЂ MS Mincho-я3я fg?5ђ ‡:яCourier New"q€рДhў|ѓ&ў|ѓ&њ|ѓ&{ї¬$рҐАґґЃЃ20_2ѓряя-0O2:0 =0 @538AB@0F8N =0CG=>9 Web-?@575=B0F88$54>@8=0 ;L30$54>@8=0 ;L30юяZа…џтщOh«‘+'іЩ0ґ� Шдь$ <H dp| €”њ¤¬г.Заявка на регистрацию научной Web-презентации.0аявФедорина ОльгатедоедоNormalаФедорина Ольгат3доMicrosoft Word 9.0и@ Џ@@aў Д@дфпў Д@дфпў Д{ї}