Золотая эра

2. Побережье острова Коха в различных масштабах.

И так до бесконечности. Это свойство выглядеть в любом, сколь угодно мелком масштабе при мерно одинаково сейчас называется масштабной инвариантностью, а множества, которые им обладают,— фракталями. Можно спросить, как же характеризовать фрактали, если, как в сказке про Алису, размеры становятся какими-то зыбкими, ненадежными и начинают зависеть от размеров линейки?
На это математики могут ответить про сто и остроумно: «Важна не сама длина, а то, как она зависит от размеров линейки, то есть важно некое число, называемое фрактальной размерностью». Для отрезка — 1, для квадрата — 2, для куба — 3. Для фракталей — дробное число. Отсюда и само название «фракталь», происходящее от английского «fractal» — дробный, неполный, частичный. Например, для острова Коха оно лежит между 1 и 2. Такое значение как будто говорит, что это уже не обычная кривая, но еще не плоскость.
Мы надеемся, после чтения всего написанного наш читатель не утратил способности здраво рассуждать. А для того чтобы эту способность обострить, пусть он представит, что авторы этих строк просят скромную, а может быть, и не очень скромную сумму, например на исследования фрактальной геометрии. Наверное, сначала возникнет настроение, точно выраженное словами одного грибоедовского героя: «Ну нет, ученостью меня не об морочишь», а потом и первое конкретное возражение: «Если все так просто, как здесь написано, то неужели об этом раньше не знали?»
Конечно, знали. Первый пример фрак тали придумал классик математического анализа Вейерштрасс еще в прошлом веке. Так же, как к береговой линии острова Коха, к этой линии нельзя про вести касательную ни в одной точке. Такие функции не имеют производной. Они вызывали у современников резкое чувство протеста. Блестящий математик Эрмит писал своему коллеге Стильтьесу:
«...С омерзением и ужасом отворачиваюсь от этой зловредной язвы — непрерывных функций, нигде не имеющих производных».
И тут, наверное, рождается второе возражение: «Все это очень занятно. Но, конечно, фрактали не имеют никакого от ношения к математическому моделированию реальных объектов и тем более к природе. Да и вообще математика не является естественной наукой. И ее роль не следует переоценивать». Это сильное возражение. Оно лежит в русле классической научной традиции. Следуя традиционным канонам, ценность такого математического «монстра» в познании реальности очень невелика. И хотя уже в начале нашего века французский физик Ж. Перрен высказал мысль о том, что фрактали будут полезны во многих физических задачах, в частности связанных с броуновским движением, к фракталям относились как к забавной математической безделице.
Ситуация кардинально изменилась с появлением в 1977 году книги Б. Мандельброта «Форма, случай и размерность». В ней, собственно, и было введено слово «фракталь» и показано, что существование фрактальных множеств позволяет объяснить, а в некоторых случаях и предсказать экспериментальные результаты, полученные в разных областях.
 

3. Пример изображения, при хранении которого информация может быть сжата более чем в тысячу раз.

Среди них — космология, теория турбулентности, химическая кинетика, физика полимеров, теория просачивания жидкости и еще десятки других. В последние годы к ним прибавились физиология, физика полупроводников, теория роста городов.
Более того, даже остров Коха имеет непосредственное отношение к реальности. Английские военные топографы еще до войны заметили, что длина побережья Великобритании зависит от длины линейки, которой ее измеряют. Аналогичная зависимость определяет длину некоторых рек, побережье многих островов, путь, проходимый частицей при броуновском движении, и многое другое.
Еще пример. Оказалось, что при вытеснении жидкостью с малой вязкостью другой жидкости, с большой вязкостью, первоначально плоская поверхность раз дела переходит в поверхность, напоминающую пальцы перчатки. Такие структуры получили название вязких пальцев.

Последовательное дробление кончиков таких пальцев приводит к возникновению фрактальных кластеров. Анализ это го явления и способов борьбы с ним очень важен для приложений. Пальцы наблюдаются при закачке воды под давлением в нефтеносный пласт для повышения нефтеотдачи. Но из-за описанного эффекта вода просачивается значительно дальше, чем хотелось бы, и на поверхность выкачивается смесь, содержащая в основном воду.
Остров Коха показывает, что периметр фигуры может быть никак не связан с ее площадью. Точно так же можно по строить тело с конечным объемом и бесконечной площадью поверхности. А теперь вспомним школьную химию, в которой говорится, что большинство технологических процессов требует катали за и что в большинстве случаев он про исходит на поверхности катализатора. Теперь представим себе, что нам удается создавать частицы катализатора в определенном интервале масштабов, устроенные как фрактали с бесконечной площадью... Уже появились первые сообщения о работах экспериментаторов, двигающихся по этому пути.
Этот путь от парадоксального математического объекта к обнаружению новых явлений природы в самых разных областях становится все более традиционным для неклассической науки. Именно это позволило создать новый междисциплинарный подход — теорию самоорганизации, или синергетику. В ее основе, как догадался читатель, глубокая аналогия между математическими моделями, возникающими в различных областях. Еще недавно синергетику воспринимали как моду или игру ума. Одна ко умение давать глубокие ответы на простые вопросы, обнаружение ряда замечательных эффектов заставили воспринимать этот подход всерьез.
Синергетика — это часть большой области исследований, все чаще называемой нелинейной наукой. Десятки между народных журналов, посвященных нелинейной науке, большое количество конференций указывают на растущий интерес к этой области знания. Одним из основоположников нелинейной науки можно считать А. Пуанкаре. На заре нашего века он высказал мысль, что в будущем удастся предсказать новые явления природы, исходя из самых общих представлений о математических моде лях, описывающих изучаемые объекты. Можно сказать, что сегодня мы стали свидетелями того, как это пророчество сбывается.

Исследования, связанные с нелиней ой наукой, были начаты в апреле 1992 года на факультете прикладной математики Российского открытого университета в рамках проектов «Самоорганизация и нелинейный анализ» и «Информхаос» под руководством авторов этих строк.
Анализу фракталей уделяется большое место в проекте «Информхаос». С анализом количественных характеристик фракталей мы связываем новые методы анализа различных течений, новые методы анализа кардиограмм и энцефалограмм и, следовательно, новые методы медицинской диагностики.
И еще одно направление, которое нам кажется очень важным. Оно роди лось еще из одного простого вопроса. Тех, кто впервые знакомится с информатикой, обычно поражает несоответствие между огромным количеством ин формации, которое содержится в цветном изображении, и скромным объемом, который может быть отведен под него в головном мозге. Вывод из этого несоответствия прост: информация в мозге обрабатывается и хранится совсем не так, как в компьютере. Вероятно, мозг выделяет что-то наиболее важное в каждом изображении, сцене, переживании, с чем и имеет дело в дальнейшем. При таком подходе главной проблемой становится научить вычислительную машину выделить необходимое и забыть ненужное.
Взгляните на рисунок 3. Чтобы «запомнить» стандартным способом эту картину, нарисованную на экране компьютера, нужно хранить более одного мега байта информации. Однако если выделить «самоподобные» элементы в этом изображении с помощью методов фрактальной геометрии, достаточно одного килобайта. Причем это число не зависит от размеров экрана. Оно останется тем же самым, если рисовать этот узор, а может быть, дракона с гораздо большим числом деталей. Здесь информацию удается сжать более чем в тысячу раз.
Хорошо было бы научиться сжимать информацию и для всех других изображений. Трудно переоценить важность этой проблемы. С сейсмических станций, спутников, метеостанций поступает гигантский объем информации. Широкое использование томограмм, энцефалограмм и кардиограмм, снимаемых в течение больших интервалов времени, сделали современные больницы крупны ми поставщиками данных. Одна из целей проекта «Информхаос» — научиться сжимать, хранить и обрабатывать эту информацию.

4. Формы структуры, возможные  в одной среде, в которой есть только процессы горения и теплопроводности. Слева (а) показано, как они выглядят. Справа — аналог географической карты, показывающей все структуры, которые могут возникнуть в такой среде. Красные точки — максимумы, синие — минимумы. Голубой крестик — точка, к которой в процессе эволюции будет сходиться волна горения. Сплошная черная линия — контур структуры на уровне половины высоты.
Наш мир слишком сложен. В нем множество законов сохранения. События в нем разворачиваются в гигантском интервале пространственных и временных масштабов. В нем поразительным образом сочетаются случайность и закономерность. И чтобы разобраться в нашем мире, очень полезно строить другие миры. Причудливые, необычные, парадоксальные. Наверное, это сродни искусству, где через уникальное и единичное удается постичь всеобщее, где гипербола и гротеск позволяют увидеть что-то важное и необычное. При этом дистанция между неведомым и очевидным подчас оказывается поразительно малой.
Итак, еще один мир. Его придумал в 1970 году английский математик Джон Конвей и назвал игрой «Жизнь». Название связано с тем, что она имитирует рост, распад и различные изменения в популяции живых организмов. В эту игру читатель может поиграть, ничего не зная о каких-либо уравнениях, не пользуясь компьютером, а имея под рукой лишь лист бумаги в клетку. Хотя на компьютере все выглядит, конечно, красивее.
Рассматривается бесконечная плоская решетка квадратных ячеек — клеток. Время в этой игре дискретно (t=1, 2 ...). Клетка может быть живой или мертвой. Изменение ее состояния в момент (t+1) определяется состоянием ее соседей в момент t (соседей у каждой клетки 8, из них 4 имеют с ней общие ребра, а 4 — только вершины). Правила таковы.
Если клетка мертва в момент времени t, она оживает в момент (t+1) тогда и только тогда, когда трое из ее восьми соседей были живы в момент t.
Если клетка была жива в момент времени t, она погибает в момент (t-1) тогда и только тогда, когда меньше, чем две, или больше, чем три соседние клетки, были живы в момент t.
Чтобы читатель почувствовал, на сколько причудливо могут развиваться события в этом мире, проследим за судьбой только одной конфигурации. Некоторые из «моментальных снимков» ее эволюции показаны на рисунке 5. Синий «домик» из четырех клеток в отсутствие красного «планера» стоял бы на месте, не меняясь со временем. «Планер» двигался бы по диагонали, повторяя свою конфигурацию через каждые четыре шага, так, что им суждено столкнуться. Число клеток растет, захватывая все большую площадь, а потом уменьшается. Когда эволюция закончена, возникает несколько конфигураций, от времени не зависящих (синие на рисунке с t=182), и других, которые повторяют себя на каждом втором шаге.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Столкновение «планера» со стационарной структурой в игре «Жизнь».

Видно, что эволюция в этой игре с примитивными правилами, с локальными связями, включающими только ближайших соседей, может быть довольно сложной. Но этого мало. Математики доказали, что эта эволюция может быть сколь угодно сложной. Эта игра эквивалентна универсальной вычислительной машине. В принципе, имея достаточно большую область из таких клеток, с ее помощью можно проводить вычисления, как на компьютере.
Главной тенденцией в электронике стала миниатюризация. Возможно, в будущем элементы компьютеров станут сравнимы с размерами молекул, и связи в них будут возможны только самые простые, локальные. Возможно, тогда такие игры, как «Жизнь», станут полезными для микроэлектроники.
Сейчас они полезны, например, при создании новых физических теорий. Вот только два примера, связанных с игрой «Жизнь».
Работа компьютера характерна тем, что мы не можем предсказать результат действия программы, не выполнив ее полностью. Такие алгоритмы называют вы числительно неприводимыми. Любая величина в нашем мире может быть измерена с конечной точностью, с конечным числом десятичных цифр. Существуют законы природы, определяющие про граммы и алгоритмы, по которым производятся действия с этими числами. По этому   американский   исследователь С. Уолфрем предлагает взглянуть на наш мир как на гигантский компьютер. По его мысли, те процессы, в моделировании которых успехи невелики (а это хаотические турбулентные течения, вихри в атмосфере, экономические системы, биологическая эволюция), описываются неприводимыми алгоритмами. Не правда ли, рискованный полет — от игры «Жизнь» до прогнозов погоды?
Другая теория, называемая теорией самоорганизованной критичности, обязанная своим появлением анализу игры «Жизнь» и другим играм такого типа, сейчас завоевывает все больше приверженцев. Ее результаты используют сегодня в космологии, гидродинамике, геофизике для прогноза землетрясений и во многих других областях.
Модели такого сорта применяют, на пример, при анализе химических реакций на поверхности. В модели, исследованной участницей  проекта   «Информхаос М. С. Шакаевой, существует только три уровня концентрации. В этой модели также были обнаружены движущиеся конфигурации — «планеры». На рисунке 6 показаны два таких планера и «моментальный снимок» того, что произошли после столкновения. Неправда ли красиво? 
Участники проектов «Информхаос» и «Самоорганизация» думают, что создавать миры и обживать их очень интересно. Мы надеемся, это занятие окажется и небесполезным. 

6. Столкновение двух «планеров» в среде, имитирующей колебательные химические реакции.
Очень интересно следить за созданием научного коллектива и соотносить этот процесс с принципами синергетики. Любопытно увидеть, как у целого появляются свойства, которыми не обладает ни одна из частей рождающейся структуры. Порой происходит необычный синтез различных стилей мышления. Напри мер, в проекте «Самоорганизация и не линейный анализ» работают не только математики и специалисты по моделированию, но также философы и даже специалисты по культуре Востока. Они стремятся дать философское осмысление новейших результатов прикладной математики, которые создаются у них на глазах. Может быть, здесь, более чем где-либо, появляется реальный шанс вернуть изначальный смысл самому понятию «университет». Университет, понимаемый как школа научного метода, как возможность для создания широких междисциплинарных обобщений, опирающихся на результаты специалистов в разных областях знания.
И еще одно наблюдение, которое по рой относят к законам Паркинсона, а порой рассматривают как важное свойство научно-учебных центров. Как это ни странно, «звездные часы» создаваемые структуры обычно переживают в первые годы. в пору неустроенности и изрядной организационной неразберихи. Достаточно вспомнить «героическую эпоху» создания МФТИ, МИФИ, обновление физического факультета МГУ в пятидесятые годы. Преподавание тогда еще не вошло в накатанную колею, и происходил поиск, нелегкий для преподавателей и ученых и очень много дающий студентам. А может быть, просто именно в этот период мэтрам бывают особенно нужны молодые коллеги и соратники. Быть может, и факультет прикладной математики Российского открытого университета, и его научные программы именно сейчас переживают свой «звездный час».
Однако есть и другая гипотеза. Синергетика утверждает, что хаос на одном уровне приводит к созданию необычных. эффективно функционирующих структур на следующем уровне организации. Блестящих исследователей в проекты факультета удалось привлечь благодаря кризису традиционных академических структур и хаосу в их научной политике. И до тех пор, пока этот хаос продол жается, негосударственные структуры будут иметь ряд стратегических преимуществ. Именно они и помогут сохранить интеллектуальный потенциал России и не дать оборвать «времен связующую нить». Впрочем, и партия Российской Академии наук не закончена. По нашему мнению, у нее в запасе сейчас есть не сколько сильных ходов.
Будущее покажет, какая из гипотез верна. А мы верим, что у синергетики, теории динамического хаоса и у коллективов. которые занимаются этими проблемами, есть будущее.