Проблемы численного анализа и прикладной математики

Проблемы численного анализа и прикладной математики
Львов. Украина. 13-16 сентября 2004г.
Посвящается юбилею А.А.Самарского

РЕЖИМЫ С ОБОСТРЕНИЕМ. ДОСТИЖЕНИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ

С.П. Курдюмов, Е.С. Куркина, Г.Г. Малинецкий
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Важную часть научного творчества академика А.А. Самарского представляют исследования по теории режимов с обострением [1-5]. Доклад посвящен новым результатам этой теории, и ее новым приложениям, связанным с анализом бедствий и катастроф.
Полученные результаты касаются базовой математической модели теории режимов с обострением – модели тепловых структур. Эта модель представляет собой нелинейное уравнение теплопроводности с объемным источником, в котором и источник, и коэффициент теплопроводности степенные функции температуры. Она описывает пространственно-локализованные диссипативные структуры, развивающиеся в режиме с обострением (когда максимум распределения температуры по пространству неограниченно растет за ограниченное время). Их форма определяется собственными функциями нелинейной среды.
Ранее считалось, что устойчивым может быть только решение, соответствующее первой собственной функции (с максимум температуры в центре симметрии). В 2003 году удалось показать, что в определенной области параметров могут быть устойчива и первая, и вторая собственная функция в сферически и цилиндрически симметричном случае. Вторая собственная функция описывает при этом сходящийся к центру цилиндрический или сферический слой, при этом в центре симметрии температура оказывается близка к нулю.
Кроме того недавно был расширен класс моделей, в которых для определенной части процесса хорошим приближением является асимптотика, соответствующая режиму с обострением. Для таких систем естественно ставить задачу прогноза катастрофических процессов по осредненным по пространству величинам [6,7]. Было показано, что в предкатастрофической ситуации и для ряда землетрясений, и для ряда биржевых крахов имеет место одна и та же асимптотика, которая соответствует режиму с обострением. Рассматриваются механизмы, обеспечивающие сильную положительную обратную связь (необходимую для возникновения режимов с обострением) в данных системах, а также подходы к мониторингу, прогнозу и предупреждению таких катастрофических явлений [8-10]. Литература 1. Избранные труды А.А. Самарского. М., МАКС Пресс, 2004.
2. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. т.28. – М.: ВИНИТИ, 1987.
3. А.А. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.П. Михайлов. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. – М.: Наука, 1987.
4. Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. – М.: Наука, 1990.
5. Режимы с обострением. Эволюция идеи. Сборник статей, посвященных 70-летию С.П. Курдюмова под ред. Г.Г. Малинецкого. – М.: Наука, 2000.
6. Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: УРСС, 2-е издание, 2002.
7. В.А. Владимиров, Ю.Л. Воробьёв, Г.Г. Малинецкий и др. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика. – М.: Наука, 2000.
8. Новое в синергетике. Взгляд в третье тысячелетие. – М.: Наука, 2002. Сборник статей под ред. Г.Г. Малинецкого, С.П. Курдюмова.
9. http://www.keldysh.ru/departments/dpt_17/gmalin.html
10. http://www.spkurdyumov.narod.ru