Во второй главе автор строит математические модели для разработки компьютерных средств обучения.
Структурная модель учебного материала.

Введем конечное множество , где - обучающий блок ( -блок) соответствует порции учебного материала и пару отношений на Е, которые являются отображениями.
1) - отношение непосредственной связности по информации (выводимости) блока из блоков .
2) - отношение детализации знания , которое "состоит из" знаний.

Определение 1. Структурной моделью учебного материала называется тройка , где Е множество учебных блоков, a - отношение информационной связности, b - отношение детализации.

Свойства отношений информационной связности таковы, что -блоки образуют сцепления, которые имеют начальные блоки и конечные (целевые) блоки

Образно говоря, знания имеют источники , промежуточные (выводимые) знания и конечные (целевые), связанные сетью передачи потоков знаний от источников к целевым обучающим блокам, поэтому модель знаний <Е, a , b > называется потоковой структурой знаний (Knowledge Flow Structure - KFS).

Граф знаний и обучающий кластер.
Обучающие -блоки связываются в сеть KN (Knowledge Net) следующим образом. Каждой вершине KN сопоставляется единственный -блок. Каждой дуге KN соотносится маркер, который является кодом формулы (описания) соответствующего знания, заключенного в учебный блок. Далее маркеры обозначаются большими буквами латинского алфавита.
Исходя из того, что-блок определяет отображение, введем понятие формулы вывода.

Определение 2. Формулой вывода называется выражение вида

 ,                                                                 (1) 

где - входные, поставляемые в блок (исходные) знания, а В- выходные (целевые) знания, полученные в результате процедуры обучения (вывода), "-> " обозначает некоммутативную операцию "следует".
Каждый -блок имеет единственный выход и потому именем блока может служить маркер исходящей от него дуги. Все исходящие из -блока дуги имеют одинаковый маркер. Формула (1) читается так: знание В является следствием процесса научения из знаний .

__________________________ формула вывода

Рис 1. Логический блок обучения и его формула вывода

Определение 3. Граф KN есть конечный граф для отношения где - -блоки, и   - есть дуга связи с маркером (принадлежащем блоку , из которого она исходит).
Граф KN обладает следующими постулируемыми свойствами:
- асимметричностью
- ацикличностью
Граф KN конечен, имеет множество входных вершин (типа ) и единственную выходную вершину (типа ). Вывод целевых знаний реализуется системой формул вывода вида (1) для каждой из его вершин, исключая входные.

Граф показывает, из каких составляющих и как складывается целевое знание. Он закладывает основу методики построения учебного материала, диалектического единства группировки и выделения, обобщения и дифференциации знаний. Для построения графа KN выполняются следующие процедуры:

1) Отбор есть определение множества логических порций обучения, имеющих законченный смысловой характер, они названы -блоками.

2) Группировка знаний около -блока в виде логических формул вывода , где "В" есть "сумма" знаний, выведенная из составляющих знаний " ".

3) Связывание -блоков в логические обучающие кластеры при помощи подстановок знаний в системе формул.

На графе KN логически выделяются завершенные подмножества - кластеры.

Определение 4. Обучающим кластером называется направленный граф KN, вершины которого размечены -блоками, дуги В - маркерами знаний, каждой вершине соотнесена формула вывода и каждая вершина ( -блок ) кластера выводима из начальных знаний, либо является начальным знанием (типа ).
Таким образом, кластер обладает свойством полной выводимости. Свойство кластерности или полной выводимости является необходимым свойством активного электронного учебника. При отсутствии полной выводимости нельзя построить процесс контроля знаний и управление процессом обучения. Процесс вывода определяется деревом вывода, оно строится по логическим формулам.

Определение 5 . Непосредственная окрестность логического блока задается формулой

             (2)

Формула (2) получается из логической формулы . Стрелки "-> " в правой части формулы (2) соответствуют дугам графа KN и помечены маркерами знаний.

Предложение 1. Система формул типа (2) для графа KN определяет подграф, являющийся деревом, который обладает свойством полной выводимости, и, поэтому, является кластером.

а) Граф KN

Формулы вывода для -блока

    б) Дерево вывода кластера

Рис. 2. Граф KN и дерево вывода для обучающего кластера.

Доказательство конструктивно и следует из свойств выражения (2) и свойств кластерности графа KN.

На рис.2 представлено дерево вывода для графа KN. Дерево отражает свойство полной выводимости каждого -блока в кластере обучения.
Система формул, определяющая дерево вывода в граф KN на рис.2а приведена ниже.

Порождение графа знаний в процессе детализации знаний
Отношение детализации знаний b постулируется как отношение разбиения на составляющие -блоки. Составляющие -блоки получаются в результате операции разбиения b , которая задается выражением
                                                              (4)

где - -блок, подлежащий разбиению на детальные (составляющие) блоки -
Понятно, что разбиение (детализацию) можно продолжать как угодно глубоко, применяя рекурсивно операцию b ко вновь полученным блокам. При этом учитывается следующее свойство: если , то для постулированного отношения разбиения. Таким образом, блок , входящий в блок , не может входить в другие блоки.
Введем формальную процедуру детализации:
1) начальный слой детализации называется нулевым, если на нем находится единственный блок ;
2) если имеется блок на j-м слое детализации, то составляющие его блоки , полученные операцией разбиения b, считаются находящимися на j+1-м слое детализации.

Процедура детализации по своей природе неоднозначна, т.е. отражает логику построения учебного материала тем или иным преподавателем, или даже одним и тем же преподавателем, но для различных контингентов обучающихся. Число слоев детализации вообще не ограничено и никак не связано с психологической сложностью слишком "мелкой" детализации. -блоки на самых нижних слоях детализации (с самым большим индексом "j") могут быть элементами конспекта учебника.

Предложение 2. При разложении, соблюдающем кластерность на каждом j-ом слое, порожденный (терминальный) граф KN будет также кластером.

Ярусно-параллельная форма представления графа KN
До сих пор модель знаний была ориентирована на логику связи отдельных -блоков. Оказывается важным при построении учебного материала учитывать и логическую независимость (несвязность) знаний. Независимость -блоков в графе KN позволяет строить различные варианты последовательностей изложения учебного материала и выбирать из них наилучшие с точки зрения преподавателя и обучающегося.

Определение 6. Ярусно-параллельной формой (ЯПФ) графа KN называется частичное упорядочение вершин по уровням, на которых расположены независимые по логическим связям -блоки так, что на 0-м уровне расположены входные знания, а на последнем целевое знание.

На рис.3 показаны две различные ЯПФ для графа KN, который состоит из двух -блоков и , которые являются кластерами и соответственно их объединение тоже является кластером. Как видно из рисунков, ЯПФ состоит из 8 уровней (ярусов), на 0-м уровне входные знания (), на последнем, 7-м уровне - целевое знание. На каждом уровне расположены независимые знания. ЯПФ (рис. 3а) и ЯПФ (рис. 3б) отличаются друг от друга различным расположением независимых вершин по уровням.

Можно себе образно представить, что по ЯПФ идет фронт обучения, сначала изучаются входные знания, затем знания 1-го уровня и т.д., до целевых знаний на последнем уровне, причем последователь изложения знаний на каждом из уровней произвольна. Совокупность независимых знаний на каждом уровне ЯПФ названа логическим уровнем. Таким образом, фронт обучения пробегает последовательность логических уровней обучения.

Все связи в ЯПФ разбиты на два класса:
1) непосредственные связи, которые "передают" знания с предыдущего уровня на последующий;
2) отложенные связи, указывающие на полученные ранее знания, которые студент должен помнить (или ему должны напоминать), пока эти знания будут использоваться при прохождении фронта обучения.
Для фиксирования этих двух типов связей в ЯПФ предусмотрены соответствующие поля (рис.3).

а)

б)

в)

Рис.3. Ярусно-параллельная форма графа KN.

Количество непосредственных и отложенных связей и их соотношения могут служить очень важными характеристиками для построения последовательности обучения для различных контингентов обучаемых. Одной из характеристик графа знаний, важной для психологической оценки процесса обучения, является коэффициент забывания - l, значение его равно сумме количества уровней, которые пронизывают все отложенные связи при движении фронта обучения (на рис.3 они отмечены "*", количество "*" в ЯПФ определяет значение коэффициента забывания l).

Планирование учебного процесса

ЯПФ графа знаний уже дает план учебного процесса, т.е. последовательность прохождения учебного материала фронтально по логическим уровням. Но, при фронтальном обучении остается неопределенной последовательность изучения, что неприемлемо для построения компьютерного курса. Далее вводятся ЯПФ - формы графа знаний, рассчитанные на линейную последовательность (цепочку) порций, когда на конкретном логическом уровне находится заранее "заказанное" количество -блоков, которые мы будем теперь называть логическими блоками, привязанными строго к номеру логического уровня. Такие ЯПФ будут называться n-процессорными разложениями, где количество логических блоков на каждом из уровней равно или меньше n. Понятие "процессор" тождественно в данном контексте обучаемому, осваивающему учебный материал.

На рис.3 в построено 1П (процессорное) - разложение графа знаний из блоков и . Можно заметить, что полученный план последовательности "подачи" материала обладает не очень хорошими характеристиками. Если связать каждый логический уровень с уроком, то использование "свежих" знаний, полученных на предыдущем уроке, чрезвычайно мало (количество непосредственных связей равно 5, отмечены на рис.2 в жирной линией). Самая длинная отложенная связь - знание , полученное на 3-м уроке, а последнее его использование предполагается на 7-м уроке (коэффициент забывания l =5).

На рис.4б и 4в показаны планы для 1П - разложения графа с ЯПФ, приведенной на рис.3а. Пример иллюстрирует, что для одного и того же графа знаний могут быть получены различные планы (различные расписания) последовательности подачи учебного материала, которые отличаются характеристиками "протяженности" логических связей между логическими блоками, расположенными на разных уровнях.

На рис.4г приведено 2П (процессорное разложение) того же графа знаний (рис.4а). Заметим, что двух и более процессорное разложение характерно для группового обучения, например, в деловых играх, когда каждый член команды (процессор) исполняет определенную роль с собственными логическими блоками. Например, (для рис.4г), роль процессора такова, что ему необходимо иметь знания логических блоков . Роль ведущая, т.к. цепочка содержит целевое знание. Роль процессора вспомогательная, он передает свои знания (например, в результате решения некоторой задачи) ведущему процессору .

Планирование групповых деловых игр - чрезвычайно сложная задача, где наиболее успешно могут применяться процессорные разложения из теории параллельных вычислительных процессов.

Практически не исследована проблема "отложенных" знаний. Раздел формальной дидактики, связанный с построением учебных планов, открывает психологам, занимающимся процессом обучения, возможность варьирования планов и их научных оценок по сложности и протяженности логических связей в учебном материале.

Автор строит и анализирует модели оценивания знаний со сложной структурой. В принятых методах оценки знаний обычно оцениваются целевые знания. Оценка полностью доверяется преподавателю. Даже при компьютерной оценке тестов, построенных по принципу меню (выбор одного правильного ответа из нескольких), когда оценка двухбалльная (указан правильный ответ - 1, указан неправильный ответ - 0), на долю преподавателя приходится составление контекста неправильных ответов (с оценкой 0) окружающих правильный ответ (с оценкой 1).

Для системы обучения через Интернет автор строит две модели формального оценивания знаний на основе процедуры свертки оценок, изначально проставленных "электронным" преподавателем в виде оценок каждого логического -блока (их можно назвать терминальные оценки) либо терминальных оценок, полученных в результате дистанционного диалога. Приведенные методы оценок базируются на подходе автора к оценке сложных систем, в частности, оценок качества программных комплексов.

Процедуры оценок достаточно просты, основаны на структурных характеристиках KFS-модели учебного курса и, насколько известно автору, не встречались в педагогической теории и практике.
а)

б)

в)

г)

Рис.4. Планирование процесса обучения по графу знаний в ЯПФ: а),б),в) - планы для одного обучающегося. г) - план обучения для бригады из двух обучаемых.

Модели оценивания знаний с учетом коррекции многослойной детализации
Модель представляет собой процедуру вычисления оценки логического блока , расположенного на i-м слое, по оценкам его детализации, расположенных на нижнем i+1 слое. На i-м шаге итерации - , где Q - функция свертки, - оценки, вычисленные на предыдущем шаге итерации.

На нулевом шаге итерации для нижнего подробного слоя детализации (i=s) оценки логических блоков представляются преподавателем в виде: .

Таким образом, результирующая оценка блока , находящегося на 0-м уровне детализации, оценивает обобщенное знание всего материала учебного курса.

Модели оценивания знаний в одном слое детализации с учетом коррекции по графу знаний KN

Каждая вершина в графе KN есть логический блок, считается, что целевые знания каждого блока оценены преподавателем независимо друг от друга, без учета всей сложности их взаимосвязей. Обычное усреднение всех оценок и приписывание усредненной оценки целевому значению очевидно, не дает справедливой оценки всего графа знаний, т.е. не учитывает логические связи в графе знаний и не меняет оценки нецелевых блоков. "Справедливая" оценка должна учитывать все оценки блоков, влияющие на целевой блок в дереве вывода целевого знания. Процесс коррекции можно определить как процедуру, состоящую из отдельных актов коррекции для каждой вершины дерева, начиная от целевой (выхода блока), при проходе по логическим уровням до входных вершин.

Смысл "справедливости" такой модели оценивания состоит в следующем. Оценка заключительного (целевого) знания должна каким-то образом корректировать оценки, проставленные в процессе последовательного изучения цепочки логических блоков, предшествующей целевому логическому блоку.

Вводится процедура коррекции для любой пары соседних логических блоков цепочки вывода , где логический блок выводится из логического блока , а - функция коррекции.

Выбор вида функции коррекции определяет различные модели "справедливых" оценок прохождения учебного курса.