Линейное уравнение теплопроводности

Линейное уравнение теплопроводности описывается дифференциальным уравнением в частных производных :
 
в котором коэффициент диффузии D и источники тепла f не зависят от температуры T(x,t). Исследуем численно линейное уравнение с постоянным коэффициентом диффузии D=const и в условиях отстутствия источников тепла, т.е. f=0. Начальные и граничные  условия задают начальный нагрев центральной области стержня и поддержание постоянной температуры на его краях соответственно. 

Для решения уравнений типа диффузии (теплопроводности) применяют как явные, так и неявные разностные схемы. Последние требуют решения на каждом временном шаге СЛАУ, которая часто оказывается трехдиагональной (поэтому возможно ее решение методом прогонки). Явная схема для простейшего уравнения теплопроводности устойчива при соблюдении условия Куранта на шаги по времени и пространству:
 K=H_x²/(H_tD)>2.
Неявная схема - безусловно-устойчива (о различиях и способах формирования явных и неявных схем написано в главе, посвященной ОДУ). 

Ниже приведены несколько примеров использования явной схемы Эйлера для расчета линейного уравнения теплопроводности. На рис.1 изображено начальное распределение температуры и её динамика через 1, 10 и 20 шагов по времени соответственно. Условие Куранта выполнено, поэтому схема устойчива. Физически такое поведение вполне естественно - с течением времени тепло из более нагретой области перетекает в менее нагретую, а зона изначально высокой температуры остывает и размывается.

На рис.2 изображен неустойчивый случай из-за несколько большего шага по времени. (показаны 1 и 10 шаги). Из-за этого разностная схема дает неверное решение, совершенно не напоминающее настоящее решение (показанное на рис.1).