Жесткие краевые задачи

Один из случаев, когда применение разностных схем может быть очень полезным, связан с решением жестких краевых задач. В частности, рассматриваемая задача о встречных световых пучках становится жесткой при увеличении коэффициента ослабления a(x) в несколько десятков раз. Например, при попытке решить ее с a(x):=100 с помощью системы MathCAD, вместо ответа выдается сообщение об ошибке "Can't converge to a solution. Encountered too many integration steps" ("Не сходится к решению. Слишком много шагов интегрирования"). Это и неудивительно, поскольку жесткие системы характерны тем, что требуют исключительно малого значения шага в стандартных алгоритмах.
Для жестких задач неприменимы и явные разностные схемы, о которых рассказывалось в предыдущем разделе. Результат расчетов по программе листинга прошлого раздела, например с a(x):=20 (рис. внизу), дает характерную для неустойчивых разностных схем "разболтку" - колебания нарастающей амплитуды, не имеющие ничего общего с реальным решением.

Рис. Неверное решение жесткой краевой задачи по неустойчивой явной разностной схеме

Выходом из положения будет использование неявных разностных схем. Применительно к нашей задаче достаточно заменить правые части уравнений (Разностные схемы-1 ) значениями не на левой, а на правой границе каждого шага:
(4)
Граничные условия, конечно, можно оставить в том же виде (2). Поскольку мы имеем дело с линейными дифференциальными уравнениями, то и схему (4) легко будет записать в виде матричного равенства (3), перегруппировывая соответствующим образом выражение (4) и приводя подобные слагаемые. Разумеется, полученная матрица A будет иной, нежели A матрица для явной схемы (1). Поэтому и решение (реализация неявной схемы) может отличаться от изображенного на рис. 12.9 результата расчетов по явной схеме. Программа, составленная для решения жесткой системы (4), приведена в листинге MathCAD 2001  .
Решение, показанное на рис. внизу, демонстрирует, что произошло небольшое чудо: "разболтка" с верхнего рисунка исчезла, а распределение интенсивностей стало физически предсказуемым. Обратите внимание, что (из-за взятого нами слишком большого коэффициента ослабления излучения) отраженный пучок света имеет очень маленькую интенсивность, и ее пришлось построить на графике с увеличением в тысячу раз.

Рис. Решение краевой задачи разностным методом по неявной схеме